En probabilidad y estadística , la notación de proceso puntual comprende el rango de notación matemática que se utiliza para representar simbólicamente objetos aleatorios conocidos como procesos puntuales , que se utilizan en campos relacionados como la geometría estocástica , la estadística espacial y la teoría de la percolación continua y que con frecuencia sirven como modelos matemáticos de procesos aleatorios. fenómenos, representables como puntos, en el tiempo, el espacio o ambos.
La notación varía debido a las historias de ciertos campos matemáticos y las diferentes interpretaciones de los procesos puntuales, [1] [2] [3] y toma prestada la notación de áreas matemáticas de estudio como la teoría de la medida y la teoría de conjuntos . [1]
Interpretación de procesos puntuales
La notación, así como la terminología, de los procesos puntuales depende de su configuración e interpretación como objetos matemáticos que, bajo ciertos supuestos, pueden interpretarse como secuencias aleatorias de puntos, conjuntos aleatorios de puntos o medidas de conteo aleatorias . [1]
Secuencias aleatorias de puntos
En algunos marcos matemáticos, un proceso puntual dado puede ser considerado como una secuencia de puntos con cada punto posicionado aleatoriamente en el espacio euclidiano d- dimensional R d [1] así como en algunos otros espacios matemáticos más abstractos . En general, si una secuencia aleatoria es equivalente o no a las otras interpretaciones de un proceso puntual depende del espacio matemático subyacente, pero esto es cierto para la configuración del espacio euclidiano de dimensión finita R d . [4]
Conjunto aleatorio de puntos
Un proceso puntual se denomina simple si no hay dos (o más puntos) que coincidan en ubicación con probabilidad uno . Dado que a menudo los procesos puntuales son simples y el orden de los puntos no importa, una colección de puntos aleatorios se puede considerar como un conjunto aleatorio de puntos [1] [5] La teoría de conjuntos aleatorios fue desarrollada independientemente por David Kendall y Georges Matheron . En términos de ser considerado como un conjunto aleatorio, una secuencia de puntos aleatorios es un conjunto cerrado aleatorio si la secuencia no tiene puntos de acumulación con probabilidad uno [6]
Un proceso de puntos a menudo se denota con una sola letra, [1] [7] [8] por ejemplo, y si el proceso de puntos se considera como un conjunto aleatorio, entonces la notación correspondiente: [1]
se utiliza para denotar que un punto aleatorio es un elemento de (o pertenece a) el proceso puntual. La teoría de conjuntos aleatorios se puede aplicar a procesos puntuales debido a esta interpretación, que junto con la interpretación de secuencia aleatoria ha dado como resultado un proceso puntual que se escribe como:
que destaca su interpretación como una secuencia aleatoria o un conjunto cerrado aleatorio de puntos. [1] Además, a veces una letra mayúscula denota el proceso puntual, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, así que, por ejemplo, el punto (o ) pertenece o es un punto del proceso de puntos , o con notación establecida, . [8]
Medidas aleatorias
Para denotar el número de puntos de ubicado en algún conjunto de Borel , a veces se escribe [7]
dónde es una variable aleatoria yes una medida de conteo , que da el número de puntos en algún conjunto. En esta expresión matemática, el proceso puntual se denota por:
.
Por otro lado, el símbolo:
representa el número de puntos de en . En el contexto de medidas aleatorias, se puede escribir:
para denotar que existe el conjunto eso contiene puntos de . En otras palabras, un proceso de puntos se puede considerar como una medida aleatoria que asigna alguna medida con valores enteros no negativos a los conjuntos. [1] Esta interpretación ha motivado que un proceso puntual se considere simplemente otro nombre para una medida de conteo aleatorio [9] : 106 y las técnicas de la teoría de la medida aleatoria ofrecen otra forma de estudiar los procesos puntuales, [1] [10] que también induce la uso de las diversas notaciones utilizadas en la integración y la teoría de la medida. [a]
Notación dual
Las diferentes interpretaciones de los procesos puntuales como conjuntos aleatorios y medidas de conteo se capturan con la notación de uso frecuente [1] [3] [8] [11] en la que:
- denota un conjunto de puntos aleatorios.
- denota una variable aleatoria que da el número de puntos de en (por lo tanto, es una medida de conteo aleatoria).
Denotando la medida de conteo nuevamente con , esta notación dual implica:
Sumas
Si es alguna función medible en R d , entonces la suma de sobre todos los puntos en se puede escribir de varias formas [1] [3] como:
que tiene la apariencia de secuencia aleatoria, o con una notación establecida como:
o, de manera equivalente, con notación de integración como:
donde que pone énfasis en la interpretación de siendo una medida de conteo aleatoria. Se puede usar una notación de integración alternativa para escribir esta integral como:
La interpretación dual de los procesos puntuales se ilustra al escribir el número de puntos en un conjunto como:
donde la función del indicador si el punto existe en y cero en caso contrario, que en esta configuración también se conoce como medida de Dirac . [11] En esta expresión, la interpretación de la medida aleatoria está en el lado izquierdo, mientras que la notación de conjunto aleatorio se usa en el lado derecho.
Expectativas
El valor promedio o esperado de una suma de funciones sobre un proceso puntual se escribe como: [1] [3]
donde (en el sentido de medida aleatoria) es una medida de probabilidad apropiada definida en el espacio de medidas de conteo . El valor esperado dese puede escribir como: [1]
que también se conoce como la medida del primer momento de. La expectativa de tal suma aleatoria, conocida como proceso de ruido de disparo en la teoría de procesos puntuales, se puede calcular con el teorema de Campbell . [2]
Usos en otros campos
Los procesos puntuales se emplean en otras disciplinas matemáticas y estadísticas, por lo que la notación se puede usar en campos como la geometría estocástica , la estadística espacial o la teoría de la percolación continua , y áreas que utilizan los métodos y la teoría de estos campos.
Ver también
- Símbolos alfanuméricos matemáticos
- Notación matemática
- Notación en probabilidad
- Tabla de símbolos matemáticos
Notas
- ↑ Como se discutió en el Capítulo 1 de Stoyan, Kendall y Mechke, [1] la notación integral variableen general se aplica a todas las integrales aquí y en otros lugares.
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , segunda edición, sección 4.1, Wiley Chichester, 1995.
- ^ a b Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de los procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4.
- ^ a b c d M. Haenggi. Geometría estocástica para redes inalámbricas . Capítulo 2. Cambridge University Press, 2012.
- ^ Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Introducción a la teoría de los procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Weil, W. (2007). "Procesos de puntos espaciales y sus aplicaciones". Geometría estocástica . Apuntes de clase en matemáticas. 1892 . pag. 1. doi : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7.
- ^ Schneider, R .; Weil, W. (2008). Geometría estocástica e integral . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4.
- ^ a b J. FC Kingman . Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.
- ^ a b c Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferencia estadística y simulación para procesos de puntos espaciales . Monografías de C & H / CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7.
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- ^ a b Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: teoría del volumen I" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Networking . 3 (3–4): 249–449. doi : 10.1561 / 1300000006 .