En relatividad general , el espacio-tiempo de ondas planas electromagnéticas monocromáticas es el análogo de las ondas planas monocromáticas conocidas por la teoría de Maxwell. La definición precisa de la solución es bastante complicada, pero muy instructiva.
Cualquier solución exacta de la ecuación de campo de Einstein que modele un campo electromagnético , debe tener en cuenta todos los efectos gravitacionales de la energía y la masa del campo electromagnético . Además del campo electromagnético, si no hay materia y campos no gravitacionales presentes, debemos resolver simultáneamente la ecuación de campo de Einstein y las ecuaciones de campo de Maxwell .
En la teoría del electromagnetismo de Maxwell , uno de los tipos más importantes de campo electromagnético son los que representan la radiación electromagnética . De estos, los ejemplos más importantes son las ondas planas electromagnéticas , en las que la radiación tiene frentes de onda planos que se mueven en una dirección específica a la velocidad de la luz. De estos, los más básicos son las ondas planas monocromáticas , en las que solo está presente un componente de frecuencia . Este es precisamente el fenómeno que nuestra solución modelará en términos de relatividad general.
Definición de la solución
El tensor métrico de la solución exacta única que modela una onda plana electromagnética polarizada linealmente con amplitud q y frecuencia ω se puede escribir, en términos de coordenadas de Rosen , en la forma
dónde es la primera raíz positiva de C ( a , 2 a , ξ ) = 0 donde. En este gráfico, ∂ u , ∂ v son nulo coordinar vectores mientras ∂ x , ∂ y son spacelike coordinar vectores.
Aquí, el coseno de Mathieu C ( a , b , ξ ) es una función par que resuelve la ecuación de Mathieu y también toma el valor C ( a , b , 0) = 1 . A pesar del nombre, esta función no es periódica y no se puede escribir en términos de funciones sinusoidales o incluso hipergeométricas. (Consulte Función de Mathieu para obtener más información sobre la función coseno de Mathieu).
En nuestra expresión para la métrica, observe que ∂ u , ∂ v son campos vectoriales nulos . Por lo tanto, ∂ u + ∂ v es un campo vectorial similar al tiempo , mientras que ∂ u - ∂ v , ∂ x , ∂ y son campos vectoriales espaciales .
Para definir el campo electromagnético, podemos tomar el potencial electromagnético de cuatro vectores
Ahora tenemos la especificación completa de un modelo matemático formulado en relatividad general.
Isometrías locales
Nuestro espacio-tiempo está modelado por una variedad de Lorentz que tiene algunas simetrías notables. Es decir, nuestro espacio-tiempo admite un grupo de autoisometrías de Lie de seis dimensiones. Este grupo es generado por un álgebra de Lie de seis dimensiones de campos vectoriales Killing . Una base conveniente consiste en un campo vectorial nulo,
tres campos vectoriales espaciales,
y dos campos vectoriales adicionales,
Aquí, generar el grupo euclidiano , actuando dentro de cada frente de onda plano, lo que justifica el nombre de onda plana para esta solución. Tambiéndemuestre que todas las direcciones no transversales son equivalentes. Esto corresponde al hecho bien conocido de que en el espacio-tiempo plano, dos ondas planas en colisión siempre chocan de frente cuando se representan en el marco de Lorentz apropiado .
Para referencia futura, notamos que este grupo de auto-isometrías de seis dimensiones actúa transitivamente , de modo que nuestro espacio-tiempo es homogéneo . Sin embargo, no es isotrópico , ya que las direcciones transversales se distinguen de las no transversales.
Una familia de observadores inerciales
representa el marco de Lorentz local definido por una familia de observadores inerciales que no giran . Es decir,
lo que significa que las curvas integrales del campo vectorial unitario temporal e 0 son geodésicas temporales , y también
lo que significa que los campos del vector unitario similar a un espacio e 1 , e 2 , e 3 no giran. (Son transportados por Fermi-Walker ). Aquí, es un campo de vector unitario similar al tiempo, mientras que son campos vectoriales unitarios parecidos a un espacio.
Los marcos inerciales que no giran son lo más cerca que podemos llegar en los espaciotiempos curvos de los marcos de Lorentz habituales conocidos de la relatividad especial , donde las transformaciones de Lorentz son simplemente cambios de un marco de Lorentz a otro.
El campo electromagnético
Con respecto a nuestro marco, el campo electromagnético obtenido del potencial dado anteriormente es
Este campo electromagnético es una solución sin fuente de las ecuaciones de campo de Maxwell en el espacio-tiempo curvo particular que se define por el tensor métrico anterior. Es una solución nula , y representa una onda plana electromagnética sinusoidal transversal con amplitud q y frecuencia ω , viajando en la dirección e 1 . Cuando nosotros
- calcular el tensor de tensión-energía T ab para el campo electromagnético dado,
- calcular el tensor de Einstein G ab para el tensor métrico dado,
encontramos que la ecuación de campo de Einstein G ab = 8 πT ab se satisface. Esto es lo que queremos decir al decir que tenemos una solución de electrovacío exacta .
En términos de nuestro marco, el tensor de tensión-energía resulta ser
Ésta es exactamente la misma expresión que encontraríamos en el electromagnetismo clásico (donde descuidamos los efectos gravitacionales de la energía del campo electromagnético) para el campo nulo dado anteriormente; la única diferencia es que ahora nuestro marco tiene una base anholonómica (ortonormal) en un espacio-tiempo curvo , en lugar de una base de coordenadas en un espacio-tiempo plano . (Ver campos de marcos ).
Movimiento relativo de los observadores
El gráfico Rosen se dice que está comóvil con nuestra familia de observadores inerciales nonspinning, debido a que las coordenadas v - u , x , y son todos constantes a lo largo de cada línea mundo, dada por una curva integral del campo vectorial unidad de tipo temporal. Por lo tanto, en la carta de Rosen, estos observadores pueden parecer inmóviles. Pero, de hecho, están en movimiento relativo entre sí. Para ver esto, debemos calcular su tensor de expansión con respecto al marco dado anteriormente. Esto resulta ser
dónde
Los componentes que no desaparecen son idénticos y son
- cóncavo hacia abajo en
- desaparecer en u = 0 .
Físicamente, esto significa que una pequeña "nube" esférica de nuestros observadores inerciales se cierne momentáneamente en u = 0 y luego comienza a colapsar, pasando finalmente uno a través del otro en u = u 0 . Si los imaginamos formando una nube tridimensional de partículas de prueba distribuidas uniformemente, este colapso ocurre ortogonal a la dirección de propagación de la onda. La nube no muestra ningún movimiento relativo en la dirección de propagación, por lo que se trata de un movimiento puramente transversal .
Para (la aproximación de onda corta), tenemos aproximadamente
- Por ejemplo, con , tenemos
donde las expresiones exactas se trazan en rojo y las aproximaciones de onda corta en verde.
El tensor de vorticidad de nuestra congruencia se desvanece de manera idéntica , por lo que las líneas del mundo de nuestros observadores son ortogonales de hiperesuperficie . El tensor de Riemann tridimensional de las hiperslices viene dado, con respecto a nuestro marco, por
La curvatura se divide perfectamente en onda (las curvaturas de sección paralelas a la dirección de propagación) y fondo (la curvatura de sección transversal).
El tensor de curvatura de Riemann
Por el contrario, la descomposición de Bel del tensor de curvatura de Riemann, tomada con respecto a, es la simplicidad misma. El tensor electrogravítico , que representa directamente las aceleraciones de las mareas , es
El tensor magnetogravítico , que representa directamente la fuerza de giro-giro en un giroscopio llevado por uno de nuestros observadores, es
(El tensor topogravítico , que representa las curvaturas seccionales espaciales , concuerda con el tensor electrogravítico).
Mirando hacia atrás en nuestro gráfico del tensor métrico, podemos ver que el tensor de mareas produce pequeñas aceleraciones relativas sinusoidales con período ω , que son puramente transversales a la dirección de propagación de la onda. El efecto gravitacional neto durante muchos períodos es producir un ciclo de expansión y colapso de nuestra familia de observadores inerciales que no giran. Esto puede considerarse el efecto de la curvatura de fondo producida por la onda.
Este ciclo de expansión y colapso recuerda a los modelos cosmológicos de FRW en expansión y colapso , y ocurre por una razón similar: la presencia de masa-energía no gravitacional. En los modelos FRW, esta masa-energía se debe a la masa de las partículas de polvo; aquí, se debe a la energía de campo del campo electromagnético. Allí, el ciclo de expansión-colapso comienza y termina con una fuerte singularidad de curvatura escalar ; aquí, tenemos una mera singularidad coordinada (una circunstancia que confundió mucho a Einstein y Rosen en 1937). Además, aquí tenemos una pequeña modulación sinusoidal de la expansión y el colapso.
Efectos ópticos
Un principio general relativo a las ondas planas establece que no puede ver el tren de ondas entrar en la estación, pero sí puede verlo salir . Es decir, si se mira a través de los frentes de onda viene en sentido contrario a los objetos distantes, se verá sin distorsión óptica, pero si usted da vuelta y mirada a través de frentes de onda saliendo objetos distantes, que va a ver a distorsiones ópticas. Específicamente, la congruencia geodésica nula generada por el campo de vector nulotiene escalares ópticos que desaparecen , pero la congruencia geodésica nula generada por tiene escalares de torsión y cizallamiento que desaparecen, pero escalares de expansión que no desaparecen
Esto muestra que al mirar a través de frentes de onda que se alejan en objetos distantes, nuestros observadores inerciales que no giran verán su tamaño aparente cambiar exactamente de la misma manera que la expansión de la congruencia geodésica en forma de tiempo.
El gráfico de Brinkmann
Una forma de ver rápidamente la plausibilidad de la afirmación de que u = u 0 es una mera singularidad de coordenadas es recordar que nuestro espacio-tiempo es homogéneo , de modo que todos los eventos son equivalentes. Para confirmar esto directamente, y para estudiar desde una perspectiva diferente el movimiento relativo de nuestros observadores inerciales no giratorios, podemos aplicar la transformación de coordenadas
dónde
Esto trae la solución a su representación en términos de coordenadas de Brinkmann :
Dado que se puede demostrar que las nuevas coordenadas están completas geodésicamente , las coordenadas de Brinkmann definen un gráfico de coordenadas global . En este gráfico, podemos ver que ocurre una secuencia infinita de ciclos idénticos de expansión-colapso.
Cáusticos
En el gráfico de Brinkmann, nuestro campo de marco se vuelve bastante complicado:
Etcétera. Naturalmente, si calculamos el tensor de expansión, el tensor electrogravítico, etc., obtenemos exactamente las mismas respuestas que antes, pero expresadas en las nuevas coordenadas.
La simplicidad del tensor métrico en comparación con la complejidad del marco es sorprendente. El punto es que podemos visualizar más fácilmente las cáusticas formadas por el movimiento relativo de nuestros observadores en el nuevo gráfico. Las curvas integrales del campo vectorial geodésico unitario temporaldar las líneas del mundo de nuestros observadores. En el gráfico de Rosen, estos aparecen como líneas de coordenadas verticales, ya que ese gráfico es comovivo.
Para comprender cómo aparece esta situación en el gráfico de Brinkmann, observe que cuando ω es grande, nuestro campo vectorial unitario geodésico en forma de tiempo se vuelve aproximadamente
Suprimiendo el último término, tenemos
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/71/Pw_nevac_caustics_shortwave.svg/300px-Pw_nevac_caustics_shortwave.svg.png)
De inmediato obtenemos una curva integral que presenta ciclos de expansión y reconvergencia sinusoidales. Vea la figura, en la que el tiempo corre verticalmente y usamos la simetría radial para suprimir una dimensión espacial. Esta figura muestra por qué hay una singularidad de coordenadas en el gráfico de Rosen; los observadores en realidad deben pasar unos junto a otros a intervalos regulares, lo cual es obviamente incompatible con la propiedad de comodos, por lo que el gráfico se rompe en estos lugares. Tenga en cuenta que esta figura sugiere incorrectamente que un observador es el "centro de atracción", por así decirlo, pero de hecho todos son completamente equivalentes , debido al gran grupo de simetría de este espacio-tiempo. Tenga en cuenta también que el movimiento relativo ampliamente sinusoidal de nuestros observadores es totalmente coherente con el comportamiento del tensor de expansión (con respecto al campo de marco correspondiente a nuestra familia de observadores) que se señaló anteriormente.
Vale la pena señalar que estos puntos un tanto engañosos confundieron nada menos que a Albert Einstein en su artículo de 1937 sobre ondas gravitacionales (escrito mucho antes de que la maquinaria matemática moderna utilizada aquí fuera ampliamente apreciada en física).
Así, en la carta de Brinkmann, las líneas del mundo de nuestros observadores, en el caso de onda corta, son curvas periódicas que tienen la forma de sinusoidales con período , modulado por perturbaciones sinusoidales mucho más pequeñas en la dirección nula ∂ v y con un período mucho más corto,. Los observadores periódicamente se expanden y vuelven a colapsar transversalmente al directo de la propagación; este movimiento está modulado por perturbaciones de pequeña amplitud de período corto.
Resumen
Comparando nuestra solución exacta con la onda plana electromagnética monocromática habitual como se trata en la relatividad especial (es decir, como una onda en el espacio-tiempo plano, despreciando los efectos gravitacionales de la energía del campo electromagnético), vemos que la nueva característica sorprendente de la relatividad general es los ciclos de expansión y colapso experimentados por nuestros observadores, que podemos atribuir a la curvatura de fondo , no a ninguna medida realizada en tiempos y distancias cortos (del orden de la longitud de onda de la radiación electromagnética).
Ver también
- Argumento de cuentas adhesivas , para un relato del artículo de 1937 de Einstein y Rosen al que se aludió anteriormente.
Referencias
- Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0. Ver sección 35.11