En álgebra abstracta , un anillo monoide es un anillo construido a partir de un anillo y un monoide , al igual que un anillo de grupo se construye a partir de un anillo y un grupo .
Definición
Sea R un anillo y sea G un monoide. El anillo monoide o álgebra monoide de G sobre R , denotado R [ G ] o RG , es el conjunto de sumas formales, dónde para cada y r g = 0 para todos, pero un número finito g , equipado con adición coeficiente a gota, y la multiplicación en la que los elementos de R conmutan con los elementos de G . Más formalmente, R [ G ] es el conjunto de funciones φ: G → R tal que { g : φ ( g ) ≠ 0 } es finito, equipado con suma de funciones y con multiplicación definida por
- .
Si G es un grupo , entonces R [ G ] también se llama el anillo de grupo de G sobre R .
Propiedad universal
Dada R y G , hay un anillo homomorfismo α: R → R [ G ] enviar cada r a r 1 (donde 1 es el elemento identidad de G ), y un monoid homomorfismo β: G → R [ G ] (donde el este último se ve como un monoide en multiplicación) enviando cada ga 1 g (donde 1 es la identidad multiplicativa de R ). Tenemos que α ( r ) conmuta con β ( g ) para todo r en R y g en G .
La propiedad universal del anillo monoide establece que dado un anillo S , un homomorfismo de anillo α ': R → S , y un homomorfismo monoide β': G → S al monoide multiplicativo de S , tal que α '( r ) conmuta con β '( g ) para todo r en R y g en G , existe un homomorfismo de anillo único γ: R [ G ] → S tal que componer α y β con γ produce α' y β '.
Aumento
El aumento es el homomorfismo de anillo η : R [ G ] → R definido por
El núcleo de η se denomina ideal de aumento . Es un libre de R - módulo con base que consiste en 1 - g para todos g en G no es igual a 1.
Ejemplos de
Dado un anillo R y el (aditivo) monoid de números naturales N (o { x n } vieron multiplicativa), obtenemos el anillo R [{ x n }] =: R [ x ] de polinomios más de R . El monoide N n (con la adición) da el anillo polinomial con n variables: R [ N n ] =: R [ X 1 , ..., X n ].
Generalización
Si G es un semigrupo , la misma construcción produce un anillo semigrupo R [ G ].
Ver también
Referencias
- Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . 211 (Rev. 3ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.
Otras lecturas
- R. Gilmer. Anillos conmutativos de semigrupo . University of Chicago Press, Chicago – Londres, 1984