En la teoría de la medida y la probabilidad , el teorema de clases monótonas conecta clases monótonas y sigma-álgebras . El teorema dice que la más pequeña clase monótona que contiene un álgebra de conjuntos G es precisamente el más pequeño σ -algebra que contiene G . Se utiliza como un tipo de inducción transfinita para probar muchos otros teoremas, como el teorema de Fubini .
Definición de una clase monótona
Una clase monótona es una familia (es decir, una clase)de conjuntos que se cierra bajo uniones monótonas contables y también bajo intersecciones monótonas contables. Explícitamente, esto significa tiene las siguientes propiedades:
- Si y luego , y
- Si y luego .
Teorema de clases monótonas para conjuntos
Monótono teorema clase para conjuntos - Let G ser un álgebra de conjuntos y definir M ( G ) ser la clase monótona más pequeño que contiene G . Entonces M ( G ) es precisamente la σ -álgebra generada por G , es decir, σ ( G ) = M ( G ) .
Teorema de la clase monótona para funciones
Teorema de clases monótonas para funciones - Seaser un π -sistema que contiene y deja ser una colección de funciones de a con las siguientes propiedades:
- Si luego .
- Si y luego y .
- Si es una secuencia de funciones no negativas que aumentan a una función acotada luego .
Luego contiene todas las funciones acotadas que son medibles con respecto a , que es la sigma-álgebra generada por .
Prueba
El siguiente argumento se origina en Probabilidad de Rick Durrett : teoría y ejemplos. [1]
Resultados y aplicaciones
Como corolario, si G es un anillo de conjuntos, entonces la clase monótona más pequeño que lo contiene coincide con la sigma-anillo de G .
Al invocar este teorema, se pueden usar clases monótonas para ayudar a verificar que cierta colección de subconjuntos es un sigma-álgebra.
El teorema de la clase monótona para funciones puede ser una herramienta poderosa que permite generalizar declaraciones sobre clases de funciones particularmente simples a funciones acotadas y mensurables arbitrarias.
Ver también
- teorema de π-λ
- π -system : una familia de conjuntos no vacíos donde la intersección de dos miembros cualesquiera es nuevamente un miembro.
- Sistema Dynkin
Citas
- ^ Durrett, Rick (2010). Probabilidad: teoría y ejemplos (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 276 . ISBN 978-0521765398.
Referencias
- Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 49 (5ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .