En matemáticas , un campo de conjuntos es una estructura matemática que consta de un parque consta de un conjunto y una familia de subconjuntos dellamado álgebra sobreque contiene el conjunto vacío como elemento, y se cierra bajo las operaciones de tomar complementos enuniones finitas e intersecciones finitas .
Los campos de conjuntos no deben confundirse con los campos de la teoría de anillos ni con los campos de la física . De manera similar, el término "álgebra sobre"se usa en el sentido de un álgebra booleana y no debe confundirse con álgebras sobre campos o anillos en la teoría de anillos.
Los campos de conjuntos juegan un papel esencial en la teoría de la representación de las álgebras de Boole. Cada álgebra de Boole se puede representar como un campo de conjuntos.
Definiciones
Un campo de conjuntos es un par que consta de un conjunto y una familia de subconjuntos dellamado álgebra sobre que tiene las siguientes propiedades:
- Cerrado bajo complementación en:
- para todos
- Contiene el conjunto vacío (o contiene) como elemento:
- Suponiendo que (1) se cumple, esta condición (2) es equivalente a:
- Cualquiera o todas las siguientes condiciones equivalentes [nota 1] son válidas:
- Cerrado bajo uniones binarias :
- para todos
- Cerrado bajo intersecciones binarias :
- para todos
- Cerrado bajo uniones finitas :
- para todos los enteros y todo
- Cerrado bajo intersecciones finitas :
- para todos los enteros y todo
- Cerrado bajo uniones binarias :
En otras palabras, forma una subálgebra del conjunto de potencias Álgebra booleana de (con el mismo elemento de identidad ). Muchos autores se refieren aen sí mismo como un campo de conjuntos. Elementos dese llaman puntos mientras que los elementos dese llaman complejos y se dice que son los conjuntos admisibles de
Un campo de conjuntos se llama un σ-campo de conjuntos y el álgebrase llama σ-álgebra si se cumple la siguiente condición adicional (4):
- Se cumple cualquiera o ambas de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cerrado bajo uniones contables :
- para todos
- Cerrado bajo intersecciones contables :
- para todos
- Cerrado bajo uniones contables :
Campos de conjuntos en la teoría de la representación de las álgebras de Boole
Representación de piedra
Para conjunto arbitrario su poder establecido (o, algo pedante, la pareja de este conjunto y su conjunto de potencia) es un campo de conjuntos. Si es finito (es decir, -elemento), luego es finito (es decir, -elemento). Parece que todo campo finito de conjuntos (es decir, con finito, mientras puede ser infinito) admite una representación de la forma con finito ; significa una función que establece una correspondencia uno a uno entre y vía imagen inversa : dónde y (es decir, ). Una consecuencia notable: el número de complejos, si es finito, es siempre de la forma
Con este fin se elige ser el conjunto de todos los átomos del campo de conjuntos dado, y define por cuando sea por un punto y un complejo eso es un átomo; lo último significa que un subconjunto no vacío de diferente de no puede ser un complejo.
En otras palabras: los átomos son una partición de ; es el conjunto de cocientes correspondiente ; y es la sobreyección canónica correspondiente.
De manera similar, cada álgebra booleana finita se puede representar como un conjunto de potencias: el conjunto de potencias de su conjunto de átomos ; cada elemento del álgebra de Boole corresponde al conjunto de átomos debajo de él (cuya unión es el elemento). Esta representación del conjunto de potencias se puede construir de manera más general para cualquier álgebra atómica booleana completa .
En el caso de las álgebras de Boole que no son completas y atómicas, aún podemos generalizar la representación de conjuntos de potencias considerando campos de conjuntos en lugar de conjuntos de potencias completos. Para ello primero observamos que los átomos de un álgebra booleana finita corresponden a sus ultrafiltros y que un átomo está por debajo de un elemento de un álgebra booleana finita si y solo si ese elemento está contenido en el ultrafiltro correspondiente al átomo. Esto nos lleva a construir una representación de un álgebra booleana tomando su conjunto de ultrafiltros y formando complejos asociando con cada elemento del álgebra booleana el conjunto de ultrafiltros que contiene ese elemento. De hecho, esta construcción produce una representación del álgebra de Boole como un campo de conjuntos y se conoce como la representación de Stone . Es la base del teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole y un ejemplo de un procedimiento de finalización en la teoría del orden basado en ideales o filtros , similar a los cortes de Dedekind .
Alternativamente, se puede considerar el conjunto de homomorfismos en el álgebra booleana de dos elementos y formar complejos asociando cada elemento del álgebra booleana con el conjunto de tales homomorfismos que lo mapean con el elemento superior. (El enfoque es equivalente ya que los ultrafiltros de un álgebra booleana son precisamente las imágenes previas de los elementos superiores bajo estos homomorfismos). Con este enfoque, se ve que la representación de Stone también puede considerarse como una generalización de la representación de álgebras booleanas finitas por tablas de verdad .
Campos de conjuntos separativos y compactos: hacia la dualidad Stone
- Un campo de conjuntos se llama separativo (o diferenciado ) si y solo si para cada par de puntos distintos hay un complejo que contiene uno y no el otro.
- Un campo de conjuntos se llama compacto si y solo si para cada filtro adecuado sobre la intersección de todos los complejos contenidos en el filtro no está vacía.
Estas definiciones surgen de considerar la topología generada por los complejos de un campo de conjuntos. (Es solo una de las topologías notables en el conjunto de puntos dado; a menudo sucede que se da otra topología, tal vez más notable, con propiedades bastante diferentes, en particular, no de dimensión cero). Dado un campo de conjuntoslos complejos forman la base de una topología. Denotamos por el espacio topológico correspondiente, dónde es la topología formada tomando uniones arbitrarias de complejos. Luego
- es siempre un espacio de dimensión cero .
- es un espacio de Hausdorff si y solo si es separativo.
- es un espacio compacto con conjuntos abiertos compactos si y solo si es compacto.
- es un espacio booleano con conjuntos abiertos si y solo si es separativo y compacto (en cuyo caso se describe como descriptivo )
La representación de Stone de un álgebra de Boole es siempre separativa y compacta; el espacio booleano correspondiente se conoce como el espacio de Stone del álgebra booleana. Los conjuntos abiertos del espacio Stone son entonces precisamente los complejos de la representación Stone. El área de las matemáticas conocida como dualidad de Stone se basa en el hecho de que la representación de Stone de un álgebra de Boole puede recuperarse puramente del espacio de Stone correspondiente, de donde existe una dualidad entre las álgebras de Boole y los espacios de Boole.
Campos de conjuntos con estructura adicional
Álgebras sigma y espacios de medida
Si un álgebra sobre un conjunto está cerrado bajo uniones contables (por lo tanto, también bajo intersecciones contables ), se llama álgebra sigma y el campo de conjuntos correspondiente se llama espacio medible . Los complejos de un espacio medible se denominan conjuntos medibles . El teorema de Loomis - Sikorski proporciona una dualidad tipo Stone entre álgebras booleanas contablemente completas (que pueden llamarse álgebras sigma abstractas ) y espacios medibles.
Un espacio de medida es un triple dónde es un espacio medible y es una medida definida en él. Sies de hecho una medida de probabilidad , hablamos de un espacio de probabilidad y llamamos a su espacio medible subyacente un espacio muestral . Los puntos de un espacio muestral se denominan muestras y representan resultados potenciales, mientras que los conjuntos medibles (complejos) se denominan eventos y representan propiedades de resultados a los que deseamos asignar probabilidades. (Muchos usan el término espacio muestral simplemente para el conjunto subyacente de un espacio de probabilidad, particularmente en el caso donde cada subconjunto es un evento). Los espacios de medida y los espacios de probabilidad juegan un papel fundamental en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad, respectivamente.
En las aplicaciones de la física , a menudo tratamos con espacios de medida y espacios de probabilidad derivados de estructuras matemáticas ricas, como espacios de productos internos o grupos topológicos que ya tienen una topología asociada a ellos; esto no debe confundirse con la topología generada al tomar uniones arbitrarias de complejos .
Campos topológicos de conjuntos
Un campo topológico de conjuntos es un triple dónde es un espacio topológico yes un campo de conjuntos que se cierra bajo el operador de cierre deo equivalentemente bajo el operador interior, es decir, el cierre y el interior de cada complejo también es un complejo. En otras palabras,forma una subálgebra del poder ajustar el álgebra interior de
Los campos topológicos de conjuntos juegan un papel fundamental en la teoría de la representación de álgebras interiores y álgebras de Heyting . Estas dos clases de estructuras algebraicas proporcionan la semántica algebraica para la lógica modal S4 (una abstracción matemática formal de la lógica epistémica ) y la lógica intuicionista, respectivamente. Los campos topológicos de conjuntos que representan estas estructuras algebraicas proporcionan una semántica topológica relacionada para estas lógicas.
Cada álgebra interior se puede representar como un campo topológico de conjuntos con el álgebra booleana subyacente del álgebra interior correspondiente a los complejos del campo topológico de conjuntos y los operadores interior y de cierre del álgebra interior correspondientes a los de la topología. Cada álgebra de Heyting puede ser representada por un campo topológico de conjuntos con el entramado subyacente del álgebra de Heyting correspondiente al entramado de complejos del campo topológico de conjuntos que están abiertos en la topología. Además, el campo topológico de conjuntos que representan un álgebra de Heyting puede elegirse de modo que los complejos abiertos generen todos los complejos como un álgebra booleana. Estas representaciones relacionadas proporcionan un aparato matemático bien definido para estudiar la relación entre las modalidades de verdad (posiblemente verdaderas frente a necesariamente verdaderas, estudiadas en lógica modal) y las nociones de demostrabilidad y refutabilidad (estudiadas en lógica intuicionista) y, por lo tanto, están profundamente conectadas con la teoría de modalidades. compañeros de lógicas intermedias .
Dado un espacio topológico, los conjuntos cerrados forman trivialmente un campo topológico de conjuntos, ya que cada conjunto abierto es su propio interior y cierre. La representación de Stone de un álgebra de Boole puede considerarse como un campo topológico de conjuntos, sin embargo, en general, la topología de un campo topológico de conjuntos puede diferir de la topología generada al tomar uniones arbitrarias de complejos y, en general, los complejos de un campo topológico. de conjuntos no es necesario que estén abiertos o cerrados en la topología.
Campos algebraicos de conjuntos y campos de piedra
Un campo topológico de conjuntos se llama algebraico si y solo si hay una base para su topología que consiste en complejos.
Si un campo topológico de conjuntos es a la vez compacto y algebraico, entonces su topología es compacta y sus conjuntos abiertos compactos son precisamente los complejos abiertos. Además, los complejos abiertos forman una base para la topología.
Los campos topológicos de conjuntos que son separativos, compactos y algebraicos se denominan campos de piedra y proporcionan una generalización de la representación de piedra de las álgebras de Boole. Dada un álgebra interior, podemos formar la representación de Stone de su álgebra booleana subyacente y luego extenderla a un campo topológico de conjuntos tomando la topología generada por los complejos correspondientes a los elementos abiertos del álgebra interior (que forman una base para una topología ). Estos complejos son entonces precisamente los complejos abiertos y la construcción produce un campo de Piedra que representa el álgebra interior, la representación de Piedra . (La topología de la representación de Stone también se conoce como topología de McKinsey-Tarski Stone en honor a los matemáticos que generalizaron por primera vez el resultado de Stone para álgebras booleanas a álgebras interiores y no debe confundirse con la topología Stone del álgebra booleana subyacente del álgebra interior será una topología más fina).
Campos de reserva
Un campo de preorden es un triple dónde es un conjunto preordenado y es un campo de conjuntos.
Al igual que los campos topológicos de conjuntos, los campos de preorden desempeñan un papel importante en la teoría de la representación de las álgebras interiores. Cada álgebra interior se puede representar como un campo de preorden con sus operadores de interior y cierre correspondientes a los de la topología de Alexandrov inducida por el preorden. En otras palabras, para todos:
De manera similar a los campos topológicos de conjuntos, los campos de preorden surgen naturalmente en la lógica modal donde los puntos representan los mundos posibles en la semántica de Kripke de una teoría en la lógica modal S4 , el preorden representa la relación de accesibilidad en estos mundos posibles en esta semántica, y el Los complejos representan conjuntos de mundos posibles en los que se mantienen oraciones individuales en la teoría, proporcionando una representación del álgebra de Lindenbaum-Tarski de la teoría. Son un caso especial de los marcos modales generales que son campos de conjuntos con una relación de accesibilidad adicional que proporciona representaciones de álgebras modales.
Campos de preorden algebraicos y canónicos
Un campo de preorden se llama algebraico (o ajustado ) si y solo si tiene un conjunto de complejos que determina el pedido anticipado de la siguiente manera: si y solo si para cada complejo , implica . Los campos de preorden obtenidos de las teorías S4 son siempre algebraicos, siendo los complejos que determinan el preorden los conjuntos de mundos posibles en los que las oraciones de la teoría cerradas por necesidad se mantienen.
Se dice que un campo de preorden algebraico compacto separativo es canónico . Dada un álgebra interior, al reemplazar la topología de su representación de piedra con el preorden canónico correspondiente (preorden de especialización) obtenemos una representación del álgebra interior como un campo de preorden canónico. Reemplazando el preorden por su correspondiente topología de Alexandrov obtenemos una representación alternativa del álgebra interior como un campo topológico de conjuntos. (La topología de esta " representación de Alexandrov " es sólo la bi-coreflexión de Alexandrov de la topología de la representación de Stone.) Si bien la representación de álgebras modales mediante marcos modales generales es posible para cualquier álgebra modal normal, solo es posible en el caso de álgebras (que corresponden a la lógica modal S4 ) que el marco modal general corresponde al campo topológico de conjuntos de esta manera.
Álgebras complejas y campos de conjuntos sobre estructuras relacionales
La representación de álgebras interiores por campos de preorden se puede generalizar a un teorema de representación para álgebras booleanas arbitrarias (normales) con operadores . Para esto consideramos estructuras dónde es una estructura relacional, es decir, un conjunto con una familia indexada de relaciones definidas en él, yes un campo de conjuntos. El álgebra compleja (o álgebra de complejos ) determinada por un campo de conjuntos en una estructura relacional, es el álgebra de Boole con operadores
Esta construcción se puede generalizar a campos de conjuntos en estructuras algebraicas arbitrarias que tienen tanto operadores como relaciones como operadores y se puede ver como un caso especial de relaciones. Si es todo el conjunto de poder de luego se llama álgebra compleja completa o álgebra de potencias .
Todo álgebra booleana (normal) con operadores puede representarse como un campo de conjuntos en una estructura relacional en el sentido de que es isomorfo al álgebra compleja correspondiente al campo.
(Históricamente, el término complejo se usó por primera vez en el caso en que la estructura algebraica era un grupo y tiene sus orígenes en la teoría de grupos del siglo XIX , donde un subconjunto de un grupo se llamaba complejo ).
Ver también
- Topología Alexandrov
- Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones entre conjuntos que implican complementos, inclusiones ⊆ y uniones finitas ∪ e intersecciones ∩.
- Anillo booleano
- δ- anillo
- Marco general
- Álgebra interior
- 𝜆-sistema (sistema Dynkin)
- Lista de temas de álgebra de Boole - artículo de la lista de Wikimedia
- Teoría de la medida
- π -system - Familia de conjuntos no vacíos donde la intersección de dos miembros cualesquiera es nuevamente un miembro
- Campo reservado
- Teoría de la probabilidad - Rama de las matemáticas relacionada con la probabilidad
- Anillo de conjuntos
- σ-álgebra
- Sigma-ideal
- anillo ring
- Dualidad de piedra
- Teorema de representación de Stone para álgebras booleanas : cada álgebra booleana es isomórfica a un determinado campo de conjuntos
Notas
- ^ Las declaraciones enumeradas son equivalentes si (1) y (2) se cumplen. La equivalencia de los enunciados (a) y (b) se deriva de las leyes de De Morgan . Esto también se aplica a la equivalencia de los enunciados (c) y (d).
Referencias
- Goldblatt, R. , Lógica polimodal algebraica: una encuesta , Revista lógica de la IGPL, Volumen 8, Número 4, p. 393-450, julio de 2000
- Goldblatt, R., Variedades de álgebras complejas , Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
- Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra (3ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.
- Naturman, CA, Álgebras interiores y topología , Ph.D. tesis, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ciudad del Cabo, 1991
- Patrick Blackburn, Johan FAK van Benthem, Frank Wolter ed., Handbook of Modal Logic, Volumen 3 de Studies in Logic and Practical Reasoning , Elsevier, 2006
enlaces externos
- "Álgebra de conjuntos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Álgebra de conjuntos , Enciclopedia de Matemáticas.