En matemáticas , un π -Sistema (o pi-sistema ) en un conjunto es una colección de ciertos subconjuntos de tal que
Es decir, es una familia no vacía de subconjuntos de que está cerrado bajo intersecciones finitas no vacías . [nb 1] La importancia de los sistemas π surge del hecho de que si dos medidas de probabilidad concuerdan en un sistema π , entonces coinciden en el álgebra 𝜎 generada por ese sistema π . Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, son válidas para el sistema π , entonces también son válidas para el álgebra 𝜎 generada. Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los que se mantiene la propiedad es un sistema 𝜆 . Los sistemas π también son útiles para verificar la independencia de variables aleatorias.
Esto es deseable porque en la práctica, los sistemas π son a menudo más sencillos de trabajar que los al-álgebras. Por ejemplo, puede resultar incómodo trabajar con 𝜎-álgebras generadas por un número infinito de conjuntos Entonces, en cambio, podemos examinar la unión de todas las 𝜎-álgebras generadas por un número finito de conjuntos Esto forma un sistema π que genera el álgebra 𝜎 deseada. Otro ejemplo es la colección de todos los intervalos de la línea real , junto con el conjunto vacío, que es un sistema π que genera el álgebra 𝜎 de Borel muy importante de subconjuntos de la línea real.
Definiciones
A π -system es una colección no vacía de conjuntos que está cerrado bajo intersecciones finitas no vacías, que es equivalente a que contiene la intersección de dos de sus elementos. Si cada conjunto en este sistema π es un subconjunto deentonces se llama un sistema π en
Para cualquier familia que no esté vacía de subconjuntos de existe un π -sistemallamado el sistema π generado por, ese es el único sistema π más pequeño de que contiene cada elemento de Es igual a la intersección de todos los sistemas π que contienen y puede describirse explícitamente como el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas no vacías de elementos de
Una familia de conjuntos no vacíos tiene la propiedad de intersección finita si y solo si el sistema π que genera no contiene el conjunto vacío como un elemento.
Ejemplos de
- Para los intervalos forman un sistema π , y los intervalosforman un sistema π si el conjunto vacío también está incluido.
- La topología (colección de subconjuntos abiertos ) de cualquier espacio topológico es un sistema π .
- Cada filtro es un sistema π . Cada sistema π que no contiene el conjunto vacío es un prefiltro (también conocido como base de filtro).
- Para cualquier función medible el conjunto define un π -system, y se llama el π -system generado por (Alternativamente, define un sistema π generado por)
- Si y son sistemas π para y respectivamente, entonces es un sistema π para el producto cartesiano
- Cada 𝜎-álgebra es un sistema π .
Relación con los sistemas λ
A λ-sistema en es un conjunto de subconjuntos de satisfactorio
- Si luego (dónde ),
- Si es una secuencia de subconjuntos disjuntos (por pares) en luego
Si bien es cierto que cualquier 𝜎-álgebra satisface las propiedades de ser tanto un sistema π como un sistema 𝜆, no es cierto que cualquier sistema π sea un sistema,, y además no es cierto que cualquier π - El sistema es un 𝜎-álgebra. Sin embargo, una clasificación útil es que cualquier sistema de conjuntos que sea tanto un sistema 𝜆 como un sistema π es un álgebra 𝜎. Esto se usa como un paso para demostrar el teorema π - λ .
El teorema π - λ
Dejar ser un sistema 𝜆, y dejar ser un sistema π contenido enEl teorema π - λ [1] establece que el 𝜎-álgebra generado por está contenido en
El teorema π - λ se puede utilizar para demostrar muchos resultados teóricos de medidas elementales . Por ejemplo, se usa para probar la afirmación de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas σ- finitas. [2]
El teorema π - λ está estrechamente relacionado con el teorema de clases monótonas , que proporciona una relación similar entre clases monótonas y álgebras, y se puede utilizar para obtener muchos de los mismos resultados. Dado que los sistemas π son clases más simples que las álgebras, puede ser más fácil identificar los conjuntos que están en ellos mientras que, por otro lado, verificar si la propiedad en consideración determina un sistema 𝜆 a menudo es relativamente fácil. A pesar de la diferencia entre los dos teoremas, el teorema π - λ a veces se denomina teorema de clase monótona. [1]
Ejemplo
Dejar ser dos compases en el 𝜎-álgebra y supongamos que se genera por un π -system Si
- para todos y
luego Este es el enunciado de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas finitas. Si este resultado no parece muy notable, considere el hecho de que generalmente es muy difícil o incluso imposible describir completamente cada conjunto en el 𝜎-álgebra, por lo que el problema de igualar medidas sería completamente inútil sin una herramienta de este tipo.
Idea de la demostración [2] Definir la colección de conjuntos
Por la primera suposición, y acordar y por lo tanto Según el segundo supuesto, y además se puede demostrar que D es un sistema 𝜆. Se deduce del teorema π - λ que y entonces Es decir, las medidas acuerdan
π -Sistemas en probabilidad
Los sistemas π se utilizan más comúnmente en el estudio de la teoría de la probabilidad que en el campo general de la teoría de la medida. Esto se debe principalmente a nociones probabilísticas como la independencia , aunque también puede ser una consecuencia del hecho de que el teorema π - λ fue probado por el probabilista Eugene Dynkin . Los textos de teoría de medida estándar suelen demostrar los mismos resultados a través de clases monótonas, en lugar de sistemas π .
Igualdad en la distribución
El teorema π - λ motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recuerde que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como
mientras que la ley aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad
- para todos
dónde es el 𝜎-álgebra de Borel. Decimos que las variables aleatorias y (en dos espacios de probabilidad posiblemente diferentes) son iguales en distribución (o ley ), denotados por si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa, es decir, La motivación para la definición surge de la observación de que si entonces eso es exactamente para decir que y ponerse de acuerdo sobre el π -sistema que genera y así por el ejemplo anterior :
Un resultado similar es válido para la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, suponga que X e Y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidadcon sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es
- para todos
Sin emabargo, y Porque
es un sistema π generado por el par aleatorioel teorema π - λ se utiliza para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de En otras palabras, y tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta.
En la teoría de los procesos estocásticos , dos procesosse sabe que son iguales en distribución si y solo si concuerdan en todas las distribuciones de dimensión finita. es decir para todos
La prueba de esto es otra aplicación del teorema π - λ . [3]
Variables aleatorias independientes
La teoría del sistema π juega un papel importante en la noción probabilística de independencia . Si y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad entonces las variables aleatorias son independientes si y solo si sus sistemas π satisfacer
- para todos y
lo que quiere decir que son independientes. En realidad, este es un caso especial del uso de sistemas π para determinar la distribución de
Ejemplo
Dejar dónde son iid variables aleatorias normales estándar. Definir las variables de radio y argumento (arctan)
Luego y son variables aleatorias independientes.
Para probar esto, es suficiente mostrar que los sistemas π son independientes: es decir,
- para todos
Confirmar que este es el caso es un ejercicio de cambio de variables. Reparar y entonces la probabilidad se puede expresar como una integral de la función de densidad de probabilidad de
Ver también
- Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones entre conjuntos que implican complementos, inclusiones ⊆ y uniones finitas ∪ e intersecciones ∩.
- anillo δ
- Familia de conjuntos
- Campo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida
- Ideal (teoría de conjuntos) : una familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos.
- Independencia
- sistema λ (sistema Dynkin)
- Teorema de la clase monótona
- Distribución de probabilidad
- Anillo de conjuntos
- σ-álgebra
- anillo σ
Notas
- ^ La intersección nulary (0-ary) de subconjuntos de es por convención igual a que no es necesario que sea un elemento de un sistema π .
Citas
- ↑ a b Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, p. 2
- ↑ a b Durrett, Probability Theory and Examples, p. 404
- ^ Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna , p. 48
Referencias
- Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Nueva York: Springer. doi : 10.1007 / b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
- David Williams (1991). Probabilidad con Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40605-6.