Un sistema Dynkin , que lleva el nombre de Eugene Dynkin , es una colección de subconjuntos de otro conjunto universal satisfaciendo un conjunto de axiomas más débiles que los del σ-álgebra . Los sistemas Dynkin a veces se denominan sistemas λ (el mismo Dynkin utilizó este término) o sistema d . [1] Estas familias de conjuntos tienen aplicaciones en la teoría de la medida y la probabilidad .
Una aplicación importante de los sistemas λ es el teorema π-λ, ver más abajo.
Definiciones
Sea Ω un conjunto no vacío y dejeser una colección de subconjuntos de Ω (es decir,es un subconjunto del conjunto de potencias de Ω). Luego es un sistema Dynkin si
- Ω ∈ ,
- si A , B ∈y A ⊆ B , luego B A ∈,
- si A 1 , A 2 , A 3 , ... es una secuencia de subconjuntos eny A n ⊆ A n +1 para todo n ≥ 1, entonces.
Equivalentemente, es un sistema Dynkin si
- Ω ∈ ,
- si A ∈, luego A c ∈,
- si A 1 , A 2 , A 3 , ... es una secuencia de subconjuntos ental que A i ∩ A j = Ø para todo i ≠ j , entonces.
Por lo general, se prefiere la segunda definición, ya que suele ser más fácil de comprobar.
Un hecho importante es que un sistema Dynkin que también es un sistema π (es decir, cerrado bajo intersecciones finitas) es un σ-álgebra . Esto se puede verificar observando que las condiciones 2 y 3 junto con el cierre en intersecciones finitas implican el cierre en uniones contables.
Dada cualquier colección de subconjuntos de , existe un sistema Dynkin único denotado que es mínimo con respecto a contener . Es decir, si es cualquier sistema Dynkin que contenga , luego . se llama el sistema Dynkin generado por . Nota. Para otro ejemplo, dejemos y ; luego.
Teorema π-λ de Dynkin
Si es un sistema π y es un sistema Dynkin con , luego . En otras palabras, la σ-álgebra generada por está contenido en .
Una aplicación del teorema π-λ de Dynkin es la unicidad de una medida que evalúa la longitud de un intervalo (conocida como medida de Lebesgue ):
Sea (Ω, B , λ ) el intervalo unitario [0,1] con la medida de Lebesgue en conjuntos de Borel . Sea μ otra medida en Ω que satisfaga μ [( a , b )] = b - a , y sea D la familia de conjuntos S tales que μ [S] = λ [S]. Sea I = {( a , b ), [ a , b ), ( a , b ], [ a , b ]: 0 < a ≤ b <1}, y observe que I está cerrado bajo intersecciones finitas, que I ⊂ D , y que B es el σ-álgebra generada por I. Se puede demostrar que D satisface las condiciones anteriores para un sistema Dynkin. Del teorema π-λ de Dynkin se deduce que D de hecho incluye todo B , que es equivalente de mostrar que la medida de Lebesgue es única en B .
Aplicación a distribuciones de probabilidad
El teorema π - λ motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recuerde que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como
mientras que la ley aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad
- para todos
dónde es el 𝜎-álgebra de Borel. Decimos que las variables aleatorias y (en dos espacios de probabilidad posiblemente diferentes) son iguales en distribución (o ley ), denotados por si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa, es decir, La motivación para la definición surge de la observación de que si entonces eso es exactamente para decir que y ponerse de acuerdo sobre el π -sistema que genera y así por el ejemplo anterior :
Un resultado similar es válido para la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, suponga que X e Y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidadcon sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es
- para todos
Sin emabargo, y Porque
es un sistema π generado por el par aleatorioel teorema π - λ se utiliza para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de En otras palabras, y tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta.
En la teoría de los procesos estocásticos , dos procesosse sabe que son iguales en distribución si y solo si concuerdan en todas las distribuciones de dimensión finita. es decir para todos
La prueba de esto es otra aplicación del teorema π - λ . [2]
Ver también
- Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones entre conjuntos que implican complementos, inclusiones ⊆ y uniones finitas ∪ e intersecciones ∩.
- anillo δ
- Campo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida
- Clase monótona
- π -system : una familia de conjuntos no vacíos donde la intersección de dos miembros cualesquiera es nuevamente un miembro.
- Anillo de conjuntos
- σ-álgebra
- anillo σ
Notas
- ^ Aliprantis, Charalambos; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista (tercera edición). Springer . Consultado el 23 de agosto de 2010 .
- ^ Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna , p. 48
Referencias
- Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Nueva York: Springer. doi : 10.1007 / b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
- Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
- Williams, David (2007). Probabilidad con Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 193. ISBN 0-521-40605-6.
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