En matemáticas , hay dos nociones diferentes de un anillo de conjuntos , y ambas se refieren a ciertas familias de conjuntos .
En teoría del orden , una familia de conjuntos no vacía se llama anillo (de conjuntos) si está cerrado bajo unión e intersección . [1] Es decir, las siguientes dos afirmaciones son verdaderas para todos los conjuntos y ,
- implica y
- implica
En la teoría de la medida , una familia de conjuntos no vacíase llama anillo (de conjuntos) si está cerrado bajo unión y complemento relativo (diferencia de la teoría de conjuntos). [2] Es decir, las siguientes dos afirmaciones son verdaderas para todos los conjuntos y ,
- implica y
- implica
Esto implica que un anillo en el sentido de la teoría de la medida siempre contiene el conjunto vacío . Además, para todos los conjuntos A y B ,
lo que muestra que una familia de conjuntos cerrados bajo complemento relativo también se cierra bajo intersección, de modo que un anillo en el sentido de la teoría de la medida es también un anillo en el sentido de la teoría del orden.
Ejemplos de
Si X es cualquier conjunto, entonces el conjunto de potencias de X (la familia de todos los subconjuntos de X ) forma un anillo de conjuntos en cualquier sentido.
Si ( X , ≤) es un conjunto parcialmente ordenado , entonces sus conjuntos superiores (los subconjuntos de X con la propiedad adicional de que si x pertenece a un conjunto superior U y x ≤ y , a continuación, y debe también pertenecen a U ) se encuentran bajo cerrada tanto intersecciones como uniones. Sin embargo, en general no se cerrará bajo diferencias de conjuntos.
Los conjuntos abiertos y cerrados de cualquier espacio topológico se cierran tanto en uniones como en intersecciones. [1]
En la línea real ℝ , la familia de conjuntos que consta del conjunto vacío y todas las uniones finitas de intervalos semiabiertos de la forma ( a , b ], con a , b ∈ ℝ es un anillo en el sentido de la teoría de la medida.
Si T es cualquier transformación definida en un espacio, entonces los conjuntos que se mapean en sí mismos por T se cierran tanto en uniones como en intersecciones. [1]
Si dos anillos de conjuntos se definen en los mismos elementos, entonces los conjuntos que pertenecen a ambos anillos forman un anillo de conjuntos. [1]
Estructuras relacionadas
Un anillo de conjuntos en el sentido orden-teórico forma un retículo distributivo en el que las operaciones de intersección y unión corresponden a de la red se encuentran y se unen a las operaciones, respectivamente. A la inversa, todo retículo distributivo es isomorfo a un anillo de conjuntos; en el caso de las redes distributivas finitas , este es el teorema de representación de Birkhoff y los conjuntos pueden tomarse como los conjuntos inferiores de un conjunto parcialmente ordenado. [1]
Una familia de conjuntos cerrados bajo unión y complemento relativo también se cierra bajo diferencia simétrica e intersección. A la inversa, toda familia de conjuntos cerrados tanto por diferencia simétrica como por intersección también está cerrada bajo unión y complemento relativo. Esto se debe a las identidades
- y
La diferencia simétrica y la intersección juntas dan a un anillo en el sentido teórico de la medida la estructura de un anillo booleano .
En el sentido de la teoría de la medida, un anillo σ es un anillo cerrado bajo uniones contables , y un anillo δ es un anillo cerrado bajo intersecciones contables. Explícitamente, un anillo σ sobre X es un conjunto tal que para cualquier secuencia , tenemos .
Dado un conjunto X , un campo de conjuntos - también llamado un álgebra sobre X - es un anillo que contiene X . Esta definición implica que un álgebra se cierra bajo complemento absoluto. A σ-álgebra es un álgebra que también está cerrada bajo uniones contables, o equivalentemente un anillo σ que contiene X . De hecho, según las leyes de De Morgan , un anillo δ que contiene X es necesariamente un σ-álgebra también. Los campos de conjuntos, y especialmente las σ-álgebras, son fundamentales para la teoría moderna de la probabilidad y la definición de medidas .
Un semianillo (de conjuntos) es una familia de conjuntos con las propiedades
- implica y
- implica para algunos disjuntos
Claramente, cada anillo (en el sentido de la teoría de la medida) es un semi-anillo.
Un semi-campo de subconjuntos de X es un semi-anillo que contiene X .
Ver también
Referencias
enlaces externos
- Anillo de conjuntos en Encyclopedia of Mathematics