El método de Monte Carlo para el transporte de electrones es un enfoque semiclásico de Monte Carlo (MC) para modelar el transporte de semiconductores . Suponiendo que el movimiento del portador consiste en vuelos libres interrumpidos por mecanismos de dispersión, se utiliza una computadora para simular las trayectorias de las partículas a medida que se mueven a través del dispositivo bajo la influencia de un campo eléctrico utilizando la mecánica clásica . Los eventos de dispersión y la duración del vuelo de las partículas se determinan mediante el uso de números aleatorios.
Fondo
Ecuación de transporte de Boltzmann
El modelo de la ecuación de transporte de Boltzmann ha sido la principal herramienta utilizada en el análisis del transporte en semiconductores. La ecuación BTE viene dada por [ cita requerida ] :
La función de distribución , f , es una función adimensional que se utiliza para extraer todos los observables de interés y proporciona una descripción completa de la distribución de electrones tanto en el espacio real como en el k . Además, representa físicamente la probabilidad de ocupación de partículas de energía k en la posición r y en el tiempo t . Además, por ser una ecuación integro-diferencial de siete dimensiones (seis dimensiones en el espacio de fase y una en el tiempo) la solución al BTE es engorrosa y puede resolverse en forma analítica cerrada bajo restricciones muy especiales. Numéricamente, la solución al BTE se emplea mediante un método determinista o un método estocástico. La solución del método determinista se basa en un método numérico basado en cuadrículas, como el enfoque de armónicos esféricos, mientras que el método Monte Carlo es el enfoque estocástico utilizado para resolver el BTE.
Método de Montecarlo
El método semiclásico de Monte Carlo es un método estadístico que se utiliza para obtener una solución exacta a la ecuación de transporte de Boltzmann que incluye una estructura de bandas compleja y procesos de dispersión . Este enfoque es semiclásico debido a que los mecanismos de dispersión se tratan mecánicamente cuánticamente usando la regla de oro de Fermi , mientras que el transporte entre eventos de dispersión se trata usando la noción clásica de partículas. El modelo de Monte Carlo, en esencia, rastrea la trayectoria de las partículas en cada vuelo libre y elige estocásticamente un mecanismo de dispersión correspondiente. Dos de las grandes ventajas del Monte Carlo semiclásico son su capacidad para proporcionar un tratamiento mecánico cuántico preciso de varios mecanismos de dispersión distintos dentro de los términos de dispersión, y la ausencia de suposición sobre la forma de distribución de portadores en energía o espacio k. La ecuación semiclásica que describe el movimiento de un electrón es
donde F es el campo eléctrico, E (k) es la relación de dispersión de energía y k es el vector de onda del momento. Para resolver la ecuación anterior, se necesita un gran conocimiento de la estructura de la banda (E (k)). La relación E (k) describe cómo se mueve la partícula dentro del dispositivo, además de representar información útil necesaria para el transporte, como la densidad de estados (DOS) y la velocidad de la partícula. Se puede obtener una relación E (K) de banda completa utilizando el método pseudopotencial semi-empírico. [1]
Método de difusión hidrodinámica y por deriva.
Tanto el modelo de difusión por deriva (DD) como el modelo hidrodinámico (HD) pueden derivarse de los momentos de la ecuación de transporte de Boltzmann (BTE) utilizando una aproximación simplificada válida para dispositivos de canal largo. El esquema DD es el enfoque más clásico y generalmente resuelve la ecuación de Poisson y las ecuaciones de continuidad para portadores considerando los componentes de deriva y difusión. En este enfoque, se supone que el tiempo de tránsito de la carga es muy grande en comparación con el tiempo de relajación de energía. [2] Por otro lado, el método HD resuelve el esquema DD con las ecuaciones de balance energético obtenidas a partir de los momentos de BTE. [3] [4] Por lo tanto, se pueden capturar y calcular detalles físicos como el calentamiento del portador y el efecto de sobreimpulso de velocidad . No hace falta decir que se requiere un método de discretización preciso en la simulación HD, ya que las ecuaciones que gobiernan están fuertemente acopladas y uno tiene que tratar con un mayor número de variables en comparación con el esquema DD.
Comparación de modelos semiclásicos
La precisión de los modelos semiclásicos se compara con base en el BTE investigando cómo tratan el problema clásico de sobreimpulso de velocidad, un efecto clave de canal corto (SCE) en estructuras de transistores. Esencialmente, el exceso de velocidad es un efecto no local de los dispositivos escalados, que está relacionado con el aumento observado experimentalmente en la transmisión de corriente y la transconductancia. [5] A medida que la longitud del canal se hace más pequeña, la velocidad ya no está saturada en la región de campo alto, pero sobrepasa la velocidad de saturación predicha. La causa de este fenómeno es que el tiempo de tránsito de la portadora se vuelve comparable al tiempo de relajación de la energía y, por tanto, las portadoras móviles no tienen tiempo suficiente para alcanzar el equilibrio con el campo eléctrico aplicado mediante la dispersión en los dispositivos de canal corto. [6] El resumen de los resultados de la simulación (Herramienta de Illinois: MOCA) con el modelo DD y HD se muestra en la figura al lado. En la figura (a), se muestra el caso en el que el campo no es lo suficientemente alto como para provocar el efecto de sobreimpulso de velocidad en toda la región del canal. Tenga en cuenta que en ese límite, los datos del modelo DD se ajustan bien al modelo MC en la región sin sobreimpulso, pero el modelo HD sobreestima la velocidad en esa región. El exceso de velocidad se observa solo cerca de la unión de drenaje en los datos de MC y el modelo HD encaja bien en esa región. A partir de los datos de MC, se puede observar que el efecto de sobreimpulso de la velocidad es abrupto en la región de campo alto, que no se incluye correctamente en el modelo HD. Para condiciones de campo alto, como se muestra en la figura (b), el efecto de sobreimpulso de velocidad en casi todo el canal y los resultados de HD y los resultados de MC son muy cercanos en la región del canal.
Monte Carlo para el transporte de semiconductores
Estructura de la banda
La estructura de bandas describe la relación entre la energía (E) y el vector de onda (k). La estructura de la banda se utiliza para calcular el movimiento de los portadores bajo la acción del campo eléctrico, la tasa de dispersión y el estado final después de la colisión. La estructura de la banda de silicio y su zona de Brillouin se muestran en la figura siguiente, pero no hay una expresión analítica que satisfaga toda la zona de Brillouin . Usando alguna aproximación, hay dos modelos analíticos para la estructura de bandas, a saber, los modos parabólico y no parabólico.
Estructura de banda parabólica
Para el concepto de estructura de bandas, las bandas de energía parabólica generalmente se asumen por simplicidad. Los electrones residen, al menos cuando están cerca del equilibrio, cerca de los mínimos de la relación E (k). Entonces la relación E (k) se puede extender en una serie de Taylor como
Debido a que la primera derivada desaparece en el mínimo de la banda, el gradiente de E (k) es cero en k = 0. Por lo tanto,
que da la definición del tensor de masa efectivo
Esta expresión es cierta para los semiconductores que tienen una masa efectiva isotrópica, por ejemplo, GaAs. En el caso del silicio, los mínimos de la banda de conducción no se encuentran en k = 0 y la masa efectiva depende de la orientación cristalográfica del mínimo como
dónde describen la masa efectiva longitudinal y transversal, respectivamente.
Estructura de banda no parabólica
Para campos aplicados más altos, los portadores residen por encima del mínimo y la relación de dispersión, E (k), no satisface la expresión parabólica simple descrita anteriormente. Esta no parabolicidad se describe generalmente por
dónde es un coeficiente de no parabolicidad dado por
dónde es la masa del electrón en el vacío y Eg es la brecha de energía. [7]
Estructura de banda completa
Para muchas aplicaciones, la estructura de bandas no parabólicas proporciona una aproximación razonable. Sin embargo, en caso de transporte de campo muy alto, lo que requiere un mejor modelo físico de la estructura de banda completa. Para el enfoque de banda completa, se utiliza la tabla de E (k) generada numéricamente. El enfoque de banda completa para la simulación de Monte Carlo fue utilizado por primera vez por Karl Hess en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign. Este enfoque se basa en el método pseudopotencial empírico sugerido por Cohen y Bergstresser [18]. El enfoque de banda completa es computacionalmente costoso, sin embargo, tras el avance de la potencia computacional, se puede utilizar como un enfoque más general. [8]
Tipos de simulación de Monte Carlo
Monte Carlo de una partícula
Para este tipo de simulación, se inyecta un portador y se rastrea el movimiento en el dominio, hasta que sale por contacto. Luego se inyecta otro portador y se repite el proceso para simular un conjunto de trayectorias. Este enfoque es principalmente útil para estudiar propiedades de volumen, como la velocidad de deriva en estado estable como función del campo.
Conjunto Monte Carlo
En lugar de un solo portador, se simula un gran conjunto de portadores al mismo tiempo. Este procedimiento es, obviamente, un buen candidato para supercálculo, ya que se pueden aplicar paralelización y vectorización. Además, ahora es posible realizar promedios de conjunto directamente. Este enfoque es adecuado para simulaciones transitorias.
Conjunto autoconsistente Montecarlo
Este método combina el procedimiento de conjunto de Monte Carlo con la ecuación de Poisson y es el más adecuado para la simulación de dispositivos. Normalmente, la ecuación de Poisson se resuelve a intervalos fijos para actualizar el campo interno, para reflejar la redistribución interna de carga, debido al movimiento de los portadores.
Selección de vuelo aleatoria
La probabilidad de que el electrón sufra su próxima colisión durante dt alrededor de t está dada por
donde P [k (t)] dt es la probabilidad de que un electrón en el estado k sufra una colisión durante el tiempo dt. Debido a la complejidad de la integral en el exponente, no es práctico generar vuelos libres estocásticos con la distribución de la ecuación anterior. Para superar esta dificultad, las personas utilizan un esquema ficticio de "autodispersión". Al hacer esto, la tasa de dispersión total, incluida esta autodispersión, es constante e igual a, digamos,. Por selección aleatoria, si se selecciona la auto-dispersión, k ′ después de la colisión es lo mismo que k y el portaaviones continúa su vuelo sin perturbaciones. Introduciendo una constante, la ecuación anterior se reduce a
Los números aleatorios r se pueden usar de manera muy simple para generar vuelos libres estocásticos, cuya duración vendrá dada por. El tiempo de la computadora utilizado para la autodispersión está más que compensado por la simplificación del cálculo de la duración del vuelo libre. [9] Para mejorar la velocidad del cálculo del tiempo de vuelo libre, se utilizan varios esquemas como "Técnica constante" y "Técnica por partes" para minimizar los eventos de autodispersión.
Mecanismos de dispersión
Antecedentes generales en física del estado sólido
Las importantes propiedades de transporte de carga de los dispositivos semiconductores, como la desviación de la ley de Ohm y la saturación de la movilidad de los portadores, son una consecuencia directa de los mecanismos de dispersión. Por lo tanto, es de gran importancia que la simulación de un dispositivo semiconductor capture la física de tales mecanismos. La simulación de semiconductores Monte Carlo, en este ámbito, es una herramienta muy poderosa por la facilidad y precisión con la que se puede incluir una matriz casi exhaustiva de mecanismos de dispersión. La duración de los vuelos gratuitos se determina a partir de las tasas de dispersión. Al final de cada vuelo, se debe elegir el mecanismo de dispersión apropiado para determinar la energía final del portador disperso, o de manera equivalente, su nuevo momento y ángulo de dispersión. En este sentido, se distinguirán dos tipos amplios de mecanismos de dispersión que derivan naturalmente de la teoría cinética clásica de la colisión entre dos cuerpos:
Dispersión elástica , donde la energía de la partícula se conserva después de ser dispersada. La dispersión elástica, por lo tanto, solo cambiará la dirección del impulso de la partícula. La dispersión de impurezas y la dispersión superficial son, con bastante aproximación, dos buenos ejemplos de procesos de dispersión elástica.
Dispersión inelástica , donde la energía se transfiere entre la partícula dispersa y el centro de dispersión. Las interacciones de los electrones son esencialmente inelásticas, ya que la partícula dispersa emite o absorbe un fonón de energía definida. Antes de caracterizar los mecanismos de dispersión con mayores detalles matemáticos, es importante tener en cuenta que cuando se ejecutan simulaciones de Monte Carlo de semiconductores, uno tiene que lidiar principalmente con los siguientes tipos de eventos de dispersión: [9]
Fonón acústico: el portador de carga intercambia energía con un modo acústico de la vibración de los átomos en la red cristalina. Los fonones acústicos surgen principalmente de la excitación térmica de la red cristalina.
Óptico polar: el portador de carga intercambia energía con uno de los modos ópticos polares de la red cristalina. Estos modos no están presentes en semiconductores covalentes. Los fonones ópticos surgen de la vibración entre sí de átomos de diferentes tipos cuando hay más de un átomo en la celda unitaria más pequeña, y generalmente son excitados por la luz.
Óptico no polar: la energía se intercambia con un modo óptico. Los fonones ópticos no polares generalmente deben considerarse en semiconductores covalentes y el valle L de GaAs.
Phonon de intervalo equivalente: debido a la interacción con un fonón, el portador de carga pasa de los estados iniciales a los estados finales que pertenecen a valles diferentes pero equivalentes. Normalmente, este tipo de mecanismo de dispersión describe la transición de un electrón de un valle X a otro valle X, o de un valle L a otro valle L. [10]
Phonon de intervalo no equivalente: implica la transición de un portador de carga entre valles de diferentes tipos.
Fonón piezoeléctrico: Para bajas temperaturas.
Impureza ionizada: refleja la desviación de una partícula de su trayectoria balística debido a la interacción de Coulomb con una impureza ionizada en la red cristalina. Debido a que la masa de un electrón es relativamente pequeña en comparación con la de una impureza, la sección transversal de Coulomb disminuye rápidamente con la diferencia del módulo de momento entre el estado inicial y final. [9] Por lo tanto, los eventos de dispersión de impurezas se consideran principalmente para la dispersión dentro del valle, la dispersión dentro de la banda y, en menor medida, la dispersión entre bandas.
Portador-Portador: (interacciones electrón-electrón, hueco-hueco y electrón-hueco). Cuando la concentración de portadores es alta, este tipo de dispersión refleja la interacción electrostática entre los portadores de carga. Este problema se vuelve muy computacionalmente intensivo con un número creciente de partículas en una simulación de conjunto. En este ámbito, los algoritmos Particle-Particle-Particle-Mesh (P3M), que distinguen la interacción de corto y largo alcance de una partícula con su gas de carga circundante, han demostrado ser eficaces para incluir la interacción portador-portador en la simulación de semiconductores Monte Carlo. [11] Muy a menudo, la carga de los portadores se asigna a una cuadrícula usando un método de nube en celda, donde parte de la carga de una partícula dada se asigna a un número dado de puntos de cuadrícula más cercanos con un cierto factor de peso.
Plasmón: refleja el efecto de la oscilación colectiva de los portadores de carga en una partícula determinada.
Inclusión de mecanismos de dispersión en Monte Carlo.
Un enfoque computacionalmente eficiente para incluir la dispersión en la simulación de Monte Carlo consiste en almacenar las tasas de dispersión de los mecanismos individuales en tablas. Dadas las diferentes velocidades de dispersión para un estado de partícula preciso, se puede seleccionar al azar el proceso de dispersión al final del vuelo libre. Estas tasas de dispersión se derivan muy a menudo utilizando la aproximación de Born , en la que un evento de dispersión es simplemente una transición entre dos estados de impulso del portador involucrado. Como se discutió en la sección II-I, el problema cuántico de muchos cuerpos que surge de la interacción de un portador con su entorno circundante (fonones, electrones, huecos, plasmones, impurezas, ...) se puede reducir a un problema de dos cuerpos utilizando la aproximación de cuasipartículas, que separa el portador de interés del resto del cristal. [9] Dentro de estas aproximaciones, la regla de oro de Fermi da, en primer orden, la probabilidad de transición por unidad de tiempo para un mecanismo de dispersión de un estado a un estado :
donde H 'es el hamiltoniano de perturbación que representa la colisión y E y E' son, respectivamente, las energías inicial y final del sistema constituido tanto por el portador como por el electrón y el gas fonón. El Dirac-función representa la conservación de la energía. Además, el término, generalmente denominado elemento de matriz, representa matemáticamente un producto interno de las funciones de onda inicial y final de la portadora: [12]
En una red de cristal, las funciones de onda y son simplemente ondas de Bloch . Cuando es posible, la expresión analítica de los elementos de la Matriz se encuentra comúnmente mediante Fourier expandiendo la H ' hamiltoniana , como en el caso de la dispersión de impurezas [13] o la dispersión de fonones acústicos. [14] En el caso importante de una transición de un estado de energía E a un estado de energía E 'debido a un fonón del vector de onda qy frecuencia, el cambio de energía e impulso es:
donde R es un vector reticular recíproco . Los procesos Umklapp (o procesos U) cambian el momento de la partícula después de la dispersión y, por lo tanto, limitan la conducción en los cristales semiconductores. Físicamente, los procesos en U ocurren cuando el momento final de la partícula apunta fuera de la primera zona de Brillouin. Una vez que se conoce la probabilidad de dispersión por unidad de tiempo de un estado k a un estado k ', es interesante determinar la tasa de dispersión para un proceso de dispersión dado. La tasa de dispersión da la probabilidad por unidad de tiempo de dispersarse de un estado k a cualquier otro estado en el espacio recíproco. Por lo tanto, la tasa de dispersión es
que se puede utilizar fácilmente para determinar el tiempo de vuelo libre y el proceso de dispersión como se describe en la sección 3-3. Es importante señalar que esta tasa de dispersión dependerá de la estructura de bandas del material (la dependencia surge de los elementos de la matriz).
Selección de modo de dispersión y trayectoria dispersa
Al final de un vuelo libre, se debe elegir aleatoriamente un modo de dispersión y un ángulo. Para determinar el mecanismo de dispersión, se deben considerar todas las tasas de dispersión de los mecanismos relevantes para la simulación, así como la tasa de dispersión total en el momento de la dispersión Al seleccionar un mecanismo de dispersión, simplemente se genera un número aleatorio uniformemente distribuido 0
Un enfoque computacionalmente eficiente para seleccionar el mecanismo de dispersión consiste en agregar un mecanismo de dispersión "vacío" para que permanece constante en el tiempo. Si una partícula se dispersa de acuerdo con este mecanismo, mantendrá su trayectoria balística después de que se produzca la dispersión. Para elegir una nueva trayectoria, primero se debe derivar la energía (o momento ) de la partícula después de la dispersión.
donde el término explica la emisión o absorción de fonones y el término no es nulo para la dispersión entre valles. La energía final (y la estructura de la banda) producen directamente el módulo del nuevo momento k '. En este punto, solo es necesario elegir una nueva dirección (o ángulo) para la partícula dispersa. En algunos casos simples como la dispersión de fonones y una relación de dispersión parabólica, el ángulo de dispersión es aleatorio y se distribuye uniformemente en la esfera de radio k '. Usando coordenadas esféricas, el proceso de elegir el ángulo es equivalente a elegir al azar dos ángulosy . Si el ángulo se distribuye con una distribución, entonces para una distribución uniforme de ángulos, la probabilidad de elegir un punto de la esfera es
Es posible, en este caso, separar las dos variables. Integrando sobre luego sobre uno encuentra
Los dos ángulos esféricos se pueden elegir, en el caso uniforme, generando dos números aleatorios 0
Correcciones cuánticas para simulación Monte Carlo
La tendencia actual de reducir la escala de los dispositivos semiconductores ha obligado a los físicos a incorporar cuestiones de la mecánica cuántica para adquirir una comprensión profunda del comportamiento de los dispositivos. La simulación del comportamiento de los dispositivos a nanoescala requiere el uso de un modelo de transporte cuántico completo , especialmente para los casos en los que los efectos cuánticos no pueden ignorarse. Sin embargo, esta complicación se puede evitar en el caso de dispositivos prácticos como el MOSFET de hoy en día , mediante el empleo de correcciones cuánticas dentro de un marco semiclásico. El modelo semiclásico de Monte Carlo se puede utilizar para simular las características del dispositivo. Las correcciones cuánticas se pueden incorporar en un simulador de Monte Carlo simplemente introduciendo un término de potencial cuántico que se superpone al potencial electrostático clásico visto por las partículas simuladas. La figura al lado muestra gráficamente las características esenciales de esta técnica. Los diversos enfoques cuánticos disponibles para la implementación se describen en las siguientes subsecciones.
Corrección basada en Wigner
La ecuación de transporte de Wigner forma las bases para la corrección cuántica basada en Wigner. [ cita requerida ]
donde, k es el momento cristalino, V es el potencial clásico, el término en el RHS es el efecto de colisión, el cuarto término en el LHS representa efectos mecánicos cuánticos no locales. La ecuación de transporte de Boltzmann estándar se obtiene cuando los términos no locales de la LHS desaparecen en el límite de las variaciones espaciales lentas. El simplificado (por) BTE con corrección cuántica se convierte en
donde el potencial cuántico está contenido en el término (debe ser un error: nunca fue mencionado).
Corrección de potencial efectiva
Este método para la corrección cuántica fue desarrollado por Feynman y Hibbs en 1965. [ cita requerida ] En este método, el potencial efectivo se deriva calculando la contribución a la ruta integral de las fluctuaciones cuánticas de una partícula alrededor de su ruta clásica. Este cálculo se realiza mediante un método variacional utilizando un potencial de prueba de primer orden. El potencial clásico efectivo en el punto promedio de cada camino se convierte entonces en
Corrección basada en Schrödinger
Este enfoque implica la resolución periódica de una ecuación de Schrödinger en una simulación con la entrada siendo el potencial electrostático autoconsistente. Los niveles de energía exactos y las funciones de onda relacionadas con la solución de potencial electrostático se emplean para calcular el potencial cuántico. La corrección cuántica obtenida sobre la base de este método se puede visualizar mediante la siguiente ecuación
donde V schr es el potencial de corrección cuántica, z es la dirección perpendicular a la interfaz, n q es la densidad cuántica de la ecuación de Schrödinger que es equivalente a la concentración de Monte Carlo convergente, V p es el potencial de la solución de Poisson, V 0 es el potencial de referencia arbitrario lejos de la región cuántica de manera que la corrección se vuelve nula en la región de comportamiento semiclásico. Aunque los potenciales mencionados anteriormente para la corrección cuántica difieren en su método de cálculo y sus supuestos básicos, cuando se trata de su inclusión en la simulación de Monte Carlo, todos se incorporan de la misma manera.
Ver también
- Método de Montecarlo
- Dispositivo semiconductor
- Método de Monte Carlo para el transporte de fotones
- Estructura de la banda
- Método de características cuánticas
- Montecarlo cuántico
- Método cuasi-Monte Carlo
Referencias
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