La ecuación de Boltzmann o ecuación de transporte de Boltzmann ( BTE ) describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico que no se encuentra en un estado de equilibrio , ideado por Ludwig Boltzmann en 1872. [2] El ejemplo clásico de tal sistema es un fluido con gradientes de temperatura en el espacio. hacer que el calor fluya de las regiones más calientes a las más frías, mediante el transporte aleatorio pero sesgado de las partículascomponiendo ese fluido. En la literatura moderna, el término ecuación de Boltzmann se usa a menudo en un sentido más general, refiriéndose a cualquier ecuación cinética que describa el cambio de una cantidad macroscópica en un sistema termodinámico, como energía, carga o número de partículas.
La ecuación surge no analizando las posiciones y momentos individuales de cada partícula en el fluido, sino más bien considerando una distribución de probabilidad para la posición y el momento de una partícula típica, es decir, la probabilidad de que la partícula ocupe una región del espacio muy pequeña dada. (matemáticamente el elemento de volumen ) centrado en la posición , y tiene un impulso casi igual a un vector de impulso dado (ocupando así una región muy pequeña de espacio de impulso ), en un instante.
La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para determinar cómo cambian las cantidades físicas, como la energía térmica y el momento , cuando un fluido está en transporte. También se pueden derivar otras propiedades características de los fluidos tales como viscosidad , conductividad térmica y conductividad eléctrica (tratando los portadores de carga en un material como un gas). [2] Véase también la ecuación de convección-difusión .
La ecuación es una ecuación integro-diferencial no lineal , y la función desconocida en la ecuación es una función de densidad de probabilidad en el espacio de seis dimensiones de la posición y el momento de una partícula. El problema de la existencia y unicidad de las soluciones aún no está completamente resuelto, pero algunos resultados recientes son bastante prometedores. [3] [4]
Descripción general
La función de densidad y espacio de fase
El conjunto de todas las posiciones posibles ry los momentos p se denomina espacio de fase del sistema; en otras palabras, un conjunto de tres coordenadas para cada coordenada de posición x, y, z , y tres más para cada componente de momento p x , p y , p z . Todo el espacio es de 6 dimensiones : un punto en este espacio es ( r , p ) = ( x, y, z, p x , p y , p z ), y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t . El volumen pequeño (" elemento de volumen diferencial ") se escribe
Dado que la probabilidad de N moléculas que todo tiene r y p dentro de En cuestión, en el corazón de la ecuación hay una cantidad f que da esta probabilidad por unidad de volumen de espacio de fase, o probabilidad por unidad de longitud al cubo por unidad de momento al cubo, en un instante de tiempo t . Esta es una función de densidad de probabilidad : f ( r , p , t ), definida de modo que,
es el número de moléculas que todos tienen posiciones que están dentro de un elemento de volumensobre r y momentos que se encuentran dentro de un elemento de espacio de momentoaproximadamente p , en el momento t . [5] La integración sobre una región de espacio de posición y espacio de momento da el número total de partículas que tienen posiciones y momentos en esa región:
que es una integral de 6 veces . Mientras que f está asociado con un número de partículas, el espacio de fases es para una sola partícula (no todos ellos, que suele ser el caso con deterministas de muchos cuerpos sistemas), ya que sólo una r y p está en cuestión. No es parte del análisis con el uso de r 1 , p 1 para la partícula 1, r 2 , p 2 para la partícula 2, etc. hasta r N , p N para partículas N .
Se supone que las partículas del sistema son idénticas (por lo que cada una tiene una masa m idéntica ). Para una mezcla de más de una especie química , se necesita una distribución para cada una, ver más abajo.
Declaración principal
Entonces, la ecuación general se puede escribir como [6]
donde el término "fuerza" corresponde a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por una influencia externa (no por las partículas en sí), el término "diff" representa la difusión de partículas y "coll" es el término de colisión , lo que representa las fuerzas actuando entre partículas en colisiones. Las expresiones para cada término en el lado derecho se proporcionan a continuación. [6]
Tenga en cuenta que algunos autores utilizan la velocidad de partícula v en lugar de la cantidad de movimiento p ; están relacionados en la definición de momento por p = m v .
Los términos de fuerza y difusión
Considere las partículas descritas por f , cada una de las cuales experimenta una fuerza externa F no debida a otras partículas (consulte el término de colisión para este último tratamiento).
Suponga que en el tiempo t un cierto número de partículas tienen todas la posición r dentro del elementoy el impulso p dentro. Si una fuerza F actúa instantáneamente sobre cada partícula, entonces en el tiempo t + Δ t su posición será r + Δ r =y momento p + Δ p = p + F Δ t . Entonces, en ausencia de colisiones, f debe satisfacer
Tenga en cuenta que hemos utilizado el hecho de que el elemento de volumen del espacio de fase es constante, que se puede demostrar usando las ecuaciones de Hamilton (ver la discusión bajo el teorema de Liouville ). Sin embargo, dado que ocurren colisiones, la densidad de partículas en el volumen del espacio de fase ' cambios, entonces
( 1 )
donde Δ f es el cambio total en f . Dividiendo ( 1 ) por Δ t y tomando los límites Δ t → 0 y Δ f → 0, tenemos
( 2 )
El diferencial total de f es:
( 3 )
donde ∇ es el operador de gradiente , · es el producto escalar ,
es una abreviatura del análogo de momento de ∇, y ê x , ê y , ê z son vectores unitarios cartesianos .
Declaración final
Dividiendo ( 3 ) por dt y sustituyendo en ( 2 ) se obtiene:
En este contexto, F ( r , t ) es el campo de fuerza que actúa sobre las partículas en el fluido y m es la masa de las partículas. El término del lado derecho se agrega para describir el efecto de las colisiones entre partículas; si es cero, las partículas no chocan. La ecuación de Boltzmann sin colisiones, en la que las colisiones individuales se reemplazan con interacciones agregadas de largo alcance, por ejemplo , interacciones de Coulomb , a menudo se denomina ecuación de Vlasov .
Esta ecuación es más útil que la principal anterior, pero aún está incompleta, ya que f no se puede resolver a menos que se conozca el término de colisión en f . Este término no se puede encontrar tan fácil o generalmente como los demás: es un término estadístico que representa las colisiones de partículas y requiere conocimiento de las estadísticas a las que obedecen las partículas, como las distribuciones de Maxwell-Boltzmann , Fermi-Dirac o Bose-Einstein .
El término de colisión (Stosszahlansatz) y el caos molecular
Término de colisión de dos cuerpos
Una idea clave aplicada por Boltzmann fue determinar el término de colisión resultante únicamente de colisiones de dos cuerpos entre partículas que se supone que no están correlacionadas antes de la colisión. Boltzmann se refirió a esta suposición como la " Stosszahlansatz " y también se la conoce como la " suposición del caos molecular ". Bajo este supuesto, el término de colisión se puede escribir como una integral de espacio-momento sobre el producto de funciones de distribución de una partícula: [2]
donde p A y p B son los momentos de dos partículas cualesquiera (etiquetadas como A y B por conveniencia) antes de una colisión, p ′ A y p ′ B son los momentos después de la colisión,
es la magnitud de los momentos relativos (ver velocidad relativa para más información sobre este concepto), e I ( g , Ω) es la sección transversal diferencial de la colisión, en la que los momentos relativos de las partículas en colisión se convierten en un ángulo θ en el elemento del ángulo sólido d Ω, debido a la colisión.
Simplificaciones del término de colisión
Dado que gran parte del desafío para resolver la ecuación de Boltzmann se origina con el término complejo de colisión, se han hecho intentos de "modelar" y simplificar el término de colisión. La ecuación del modelo más conocida se debe a Bhatnagar, Gross y Krook. [7] El supuesto en la aproximación BGK es que el efecto de las colisiones moleculares es forzar una función de distribución de no equilibrio en un punto del espacio físico a una función de distribución de equilibrio de Maxwell y que la velocidad a la que esto ocurre es proporcional a la frecuencia de colisión molecular. Por tanto, la ecuación de Boltzmann se modifica a la forma BGK:
dónde es la frecuencia de colisión molecular, y es la función de distribución local de Maxwell dada la temperatura del gas en este punto del espacio.
Ecuación general (para una mezcla)
Para una mezcla de especies químicas etiquetadas con índices i = 1, 2, 3, ..., n la ecuación para la especie i es [2]
donde f i = f i ( r , p i , t ), y el término de colisión es
donde f ′ = f ′ ( p ′ i , t ), la magnitud de los momentos relativos es
y I ij es la sección transversal diferencial, como antes, entre las partículas i y j . La integración se realiza sobre los componentes del momento en el integrando (que se denominan i y j ). La suma de integrales describe la entrada y salida de partículas de la especie i dentro o fuera del elemento del espacio de fase.
Aplicaciones y extensiones
Ecuaciones de conservación
La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para derivar las leyes de conservación de la dinámica de fluidos para masa, carga, momento y energía. [8] : p. 163 Para un fluido que consta de un solo tipo de partícula, la densidad numérica n viene dada por
El valor promedio de cualquier función A es
Dado que las ecuaciones de conservación involucran tensores, se utilizará la convención de suma de Einstein cuando los índices repetidos en un producto indiquen la suma de esos índices. Por lo tanto y , dónde es el vector de velocidad de las partículas. Definir como alguna función del impulso sólo, que se conserva en caso de colisión. Suponga también que la fuerzaes una función de la posición solamente, y que f es cero para. Al multiplicar la ecuación de Boltzmann por A e integrar sobre la cantidad de movimiento se obtienen cuatro términos que, utilizando la integración por partes, se pueden expresar como
donde el último término es cero, ya que A se conserva en una colisión. Dejando, la masa de la partícula, la ecuación de Boltzmann integrada se convierte en la ecuación de conservación de la masa: [8] : pp 12,168
dónde es la densidad de masa, y es la velocidad media del fluido.
Dejando , la cantidad de movimiento de la partícula, la ecuación de Boltzmann integrada se convierte en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento: [8] : pp 15,169
dónde es el tensor de presión (el tensor de tensión viscoso más la presión hidrostática ).
Dejando , la energía cinética de la partícula, la ecuación de Boltzmann integrada se convierte en la ecuación de conservación de energía: [8] : pp 19,169
dónde es la densidad de energía térmica cinética, y es el vector de flujo de calor.
Mecánica hamiltoniana
En la mecánica hamiltoniana , la ecuación de Boltzmann a menudo se escribe de manera más general como
donde L es el operador de Liouville (hay una definición inconsistente entre el operador de Liouville como se define aquí y el del artículo vinculado) que describe la evolución de un volumen de espacio de fase y C es el operador de colisión. La forma no relativista de L es
Teoría cuántica y violación de la conservación del número de partículas
Es posible escribir ecuaciones cuánticas relativistas de Boltzmann para sistemas cuánticos relativistas en los que el número de partículas no se conserva en las colisiones. Esto tiene varias aplicaciones en cosmología física , [9] incluyendo la formación de los elementos de luz en Big Bang nucleosíntesis , la producción de la materia oscura y bariogénesis . No está claro a priori que el estado de un sistema cuántico pueda caracterizarse por una densidad de espacio de fase clásica f . Sin embargo, para una amplia clase de aplicaciones existe una generalización bien definida de f que es la solución de una ecuación de Boltzmann efectiva que puede derivarse de los primeros principios de la teoría cuántica de campos . [10]
Relatividad general y astronomía
La ecuación de Boltzmann es útil en dinámica galáctica. Una galaxia, bajo ciertos supuestos, puede aproximarse como un fluido continuo; su distribución de masa se representa entonces por f ; en las galaxias, las colisiones físicas entre las estrellas son muy raras, y el efecto de las colisiones gravitacionales puede despreciarse durante tiempos mucho más largos que la edad del universo .
Su generalización en relatividad general . [11] es
where Γαβγ is the Christoffel symbol of the second kind (this assumes there are no external forces, so that particles move along geodesics in the absence of collisions), with the important subtlety that the density is a function in mixed contravariant-covariant (xi, pi) phase space as opposed to fully contravariant (xi, pi) phase space.[12][13]
In physical cosmology the fully covariant approach has been used to study the cosmic microwave background radiation.[14] More generically the study of processes in the early universe often attempt to take into account the effects of quantum mechanics and general relativity.[9] In the very dense medium formed by the primordial plasma after the Big Bang, particles are continuously created and annihilated. In such an environment quantum coherence and the spatial extension of the wavefunction can affect the dynamics, making it questionable whether the classical phase space distribution f that appears in the Boltzmann equation is suitable to describe the system. In many cases it is, however, possible to derive an effective Boltzmann equation for a generalized distribution function from first principles of quantum field theory.[10] This includes the formation of the light elements in Big Bang nucleosynthesis, the production of dark matter and baryogenesis.
Resolver la ecuación
Exact solutions to the Boltzmann equations have been proven to exist in some cases;[15] this analytical approach provides insight, but is not generally usable in practical problems.
Instead, numerical methods (including finite elements and lattice Boltzmann methods) are generally used to find approximate solutions to the various forms of the Boltzmann equation. Example applications range from hypersonic aerodynamics in rarefied gas flows[16][17] to plasma flows.[18] An application of the Boltzmann equation in electrodynamics is the calculation of the electrical conductivity - the result is in leading order identical with the semiclassical result.[19]
Close to local equilibrium, solution of the Boltzmann equation can be represented by an asymptotic expansion in powers of Knudsen number (the Chapman-Enskog expansion[20]). The first two terms of this expansion give the Euler equations and the Navier-Stokes equations. The higher terms have singularities. The problem of developing mathematically the limiting processes, which lead from the atomistic view (represented by Boltzmann's equation) to the laws of motion of continua, is an important part of Hilbert's sixth problem.[21]
Ver también
- Vlasov equation
- H-theorem
- Fokker–Planck equation
- Williams-Boltzmann equation
- Navier–Stokes equations
- Vlasov–Poisson equation
- Lattice Boltzmann methods
Notas
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Referencias
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- Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part II: The full initial value problem". Arch. Rational Mech. Anal. 45 (1): 17–34. Bibcode:1972ArRMA..45...17A. doi:10.1007/BF00253393. S2CID 119481100.
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enlaces externos
- The Boltzmann Transport Equation by Franz Vesely
- Boltzmann gaseous behaviors solved