En álgebra y geometría algebraica , el teorema de Bézout multihomogéneo es una generalización a polinomios multihomogéneos del teorema de Bézout , que cuenta el número de ceros comunes aislados de un conjunto de polinomios homogéneos . Esta generalización se debe a Igor Shafarevich . [1]
Motivación
Dada una ecuación polinomial o un sistema de ecuaciones polinomiales , a menudo es útil calcular o acotar el número de soluciones sin calcular explícitamente las soluciones.
En el caso de una sola ecuación, este problema se resuelve mediante el teorema fundamental del álgebra , que afirma que el número de soluciones complejas está acotado por el grado del polinomio, con igualdad, si las soluciones se cuentan con sus multiplicidades .
En el caso de un sistema de n ecuaciones polinomiales en n incógnitas, el problema se resuelve mediante el teorema de Bézout , que afirma que, si el número de soluciones complejas es finito, su número está acotado por el producto de los grados de las soluciones. Además, si el número de soluciones en el infinito también es finito, entonces el producto de los grados es igual al número de soluciones contadas con multiplicidades e incluyendo las soluciones en el infinito.
Sin embargo, es bastante común que el número de soluciones en el infinito sea infinito. En este caso, el producto de los grados de los polinomios puede ser mucho mayor que el número de raíces, y son útiles mejores límites.
El teorema de Bézout multihomogéneo proporciona una raíz tan mejor cuando las incógnitas se pueden dividir en varios subconjuntos de modo que el grado de cada polinomio en cada subconjunto es menor que el grado total del polinomio. Por ejemplo, dejaser polinomios de grado dos que son de grado uno en n indeterminados y también de grado uno en (es decir, los polinomios son bilineales . En este caso, el teorema de Bézout limita el número de soluciones por
mientras que el teorema de Bézout multi-homogéneo da el límite (usando la aproximación de Stirling )
Declaración
Un polinomio de múltiples homogénea es un polinomio que es homogénea con respecto a varios conjuntos de variables.
Más precisamente, considere k enteros positivos, y, para i = 1, ..., k , el indeterminado Un polinomio en todos estos indeterminados es multi-homogéneo de multi-grado si es homogéneo de grado en
Una variedad multiproyectiva es una subvariedad proyectiva del producto de espacios proyectivos.
dónde denotar el espacio proyectivo de dimensión n . Una variedad multiproyectiva puede definirse como el conjunto de ceros comunes no triviales de un ideal de polinomios multiogéneos, donde "no trivial" significa queno son simultáneamente 0, para cada i .
El teorema de Bézout afirma que n polinomios homogéneos de gradoen n + 1 indeterminados definen un conjunto algebraico de dimensión positiva o un conjunto algebraico de dimensión cero que consta de puntos contados con sus multiplicidades.
Para enunciar la generalización del teorema de Bézout conviene introducir nuevos indeterminados y para representar el multi-grado por la forma lineal A continuación, "varios grados" se referirá a esta forma lineal en lugar de a la secuencia de grados.
Configuración el teorema de Bézout multihomogéneo es el siguiente.
Con la notación anterior, n polinomios multi-homogéneos de varios grados definir un conjunto algebraico multiproyectivo de dimensión positiva, o un conjunto algebraico de dimensión cero que consta de puntos B , contados con multiplicidades, donde B es el coeficiente de
en el producto de formas lineales
Caso no homogéneo
El límite de Bézout multihomogéneo en el número de soluciones puede usarse para sistemas de ecuaciones no homogéneos, cuando los polinomios pueden ser (multi) homogeneizados sin aumentar el grado total. Sin embargo, en este caso, el límite puede no ser nítido, si hay soluciones "en el infinito".
Sin una idea del problema que se estudia, puede resultar difícil agrupar las variables para una "buena" multi-homogeneización. Afortunadamente, existen muchos problemas en los que dicha agrupación resulta directamente del problema que se modela. Por ejemplo, en mecánica , las ecuaciones son generalmente homogéneas o casi homogéneas en las longitudes y masas.
Referencias
- ^ Shafarevich, IR (2012) [1977]. Geometría algebraica básica . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 213 . Traducido por Hirsch, KA Springer. ISBN 978-3-642-96200-4.