Modelos de factores múltiples

En las finanzas matemáticas , los modelos de factores múltiples son modelos de precios de activos que se pueden utilizar para estimar la tasa de descuento para la valoración de activos financieros. Por lo general, son extensiones del modelo de fijación de precios de activos de capital de factor único (CAPM).

Modelo de Rosenberg y Marathe

El modelo de riesgo accionario multifactorial fue desarrollado por primera vez por Barr Rosenberg y Vinay Marathe. ^[1] Inicialmente propusieron un modelo lineal de beta

 ${\displaystyle r(i,t)-r(0,t)=b(i,t)[m(t)-r(0,t)]+g(i,t)}$ ${\displaystyle b(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

donde r (i, t) es el rendimiento del activo de capital I en el período [t, t + 1], r (0, t) es el rendimiento libre de riesgo, m (t) es el rendimiento del índice de mercado, e (i , t) es un rendimiento residual de mercado y b (i, t) es un parámetro ajustado por una regresión de series de tiempo a lo largo de la historia anterior al tiempo t. Entonces X (i, j, t) son los valores de exposición al riesgo calculados a partir de datos fundamentales y técnicos, f (j, t) son los rendimientos de los factores determinados por una regresión transversal para cada período de tiempo yg (i, t) son la regresión derechos residuales de autor. Este modelo fue reformulado por Rosenberg et al. en un modelo directo de rendimiento de activos,

 ${\displaystyle r(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(i,j)+e(i,t)}$

Aquí, los rendimientos de los factores f (j, t) y los rendimientos específicos e (i, t) se ajustan mediante una regresión ponderada durante cada período de tiempo t para un universo de activos representativo. Por ejemplo, el modelo podría ajustarse a las 3000 acciones ordinarias estadounidenses de mayor capitalización. La aplicación principal del modelo es estimar la matriz de covarianza C activo por activo de los rendimientos de los activos mediante la ecuación

 ${\displaystyle C=XFX^{t}+D}$

donde F es la matriz de covarianza de los rendimientos de los activos y D es una matriz diagonal de bloques de rendimientos específicos. Luego, la matriz C se usa para la construcción de la cartera de Markowitz, que implica maximizar la función de utilidad cuadrática

 ${\displaystyle u(h)=a^{t}h-kh^{t}Ch}$

sujeto a restricciones lineales sobre el vector de tenencias de activos h. Aquí, a es un vector de rendimientos esperados yk es un parámetro escalar denominado aversión al riesgo.

Modificaciones de Torre

Nicolo G. Torre realizó una serie de mejoras en este marco que agudizaron de manera importante el control de riesgos que se puede lograr por estos medios. ^[2]En el modelo de Rosenberg, los índices de riesgo X consistían en ponderaciones de la industria e índices de riesgo. A cada activo se le daría una exposición a una o más industrias, por ejemplo, en base a un desglose del balance de la empresa o del estado de resultados por segmentos de la industria. Estas exposiciones industriales sumarían 1 por cada activo. Por lo tanto, el modelo no tenía un factor de mercado explícito, sino que el rendimiento del mercado se proyectaba sobre los rendimientos de la industria. Torre modificó este esquema introduciendo un factor de mercado explícito (con exposición unitaria para cada activo). Mantener el modelo identificado por impuso la condición de que los retornos de los factores de la industria sumen cero en cada período de tiempo. Por tanto, el modelo se estima como

 f (yo, t) = m (t) + suma_j X (yo, j, t) f (j, t) + e (yo, t)

sujeto a

 sum_k f (k, t) = 0 para todo t

donde la suma supera los factores de la industria. Aquí m (t) es el rendimiento del mercado. La identificación explícita del factor de mercado permitió a Torre estimar la varianza de este factor utilizando un modelo GARCH (1,1) apalancado debido a Robert Engle y Tim Bollerslev.

 s ^ 2 (t) = w + como ^ 2 (t-1) + b1 fp (m (t-1)) ^ 2 + b2 fm (m (t-1)) ^ 2

Aquí

 fp (x) = x para x> 0 0 para x <= 0

 fm (x) = 0 para x> = 0 x para x <0

y w, a, b1 y b2 son parámetros que se ajustan a estimaciones de series de tiempo largas utilizando métodos de máxima verosimilitud. Este modelo proporciona una actualización rápida de la variación del mercado que se incorpora a la actualización de F, lo que resulta en un modelo de riesgo más dinámico. En particular, explica la convergencia de los rendimientos de los activos y la consiguiente pérdida de diversificación que se produce en las carteras durante los períodos de turbulencia del mercado.

En el modelo de riesgo, los factores de la industria tienen aproximadamente la mitad del poder explicativo una vez que se tiene en cuenta el efecto de mercado. Sin embargo, Rosenberg había dejado sin resolver cómo deberían definirse las agrupaciones industriales, eligiendo depender simplemente de un conjunto convencional de industrias. La definición de conjuntos de industrias es un problema de taxonomía. La dificultad básica es que la industria la definen los miembros asignados a ella, pero a menudo no está claro a qué industria debe asignarse un capital individual. Las dificultades pueden reducirse mediante la introducción de un gran número de industrias estrictamente definidas, pero este enfoque está en tensión con las exigencias de la estimación del riesgo. Para estimaciones de riesgo sólidas, favorecemos un número moderado de industrias, cada una de las cuales representa unos pocos puntos porcentuales de capitalización de mercado y no está dominada exclusivamente por la empresa más grande de la industria.Torre resolvió este problema introduciendo varios cientos de minindustrias estrictamente definidas y luego aplicando técnicas de agrupación guiada para combinar las minindustrias en agrupaciones industriales adecuadas para la estimación de riesgos.

En el enfoque inicial de Rosenberg, se supone que el factor y los rendimientos específicos están distribuidos normalmente. Sin embargo, la experiencia arroja una serie de observaciones periféricas que son demasiado grandes y demasiado frecuentes para ajustarse a una distribución normal. Aunque la introducción de un factor de mercado GARCH reduce en parte esta dificultad, no la elimina. Torre mostró que las distribuciones de retorno se pueden modelar como una mezcla de una distribución normal y una distribución de salto. En el caso de un solo factor, el modelo de mezcla se establece fácilmente. Cada período de tiempo t hay una variable de mezcla binaria b (t). Si b (t) = 0, entonces el factor de retorno en ese período se extrae de la distribución normal y si b (t) = 1 se extrae de la distribución de salto. Torre descubrió que los saltos simultáneos ocurren en factores. Respectivamente,en el caso multivariado es necesario introducir un vector de choque multivariante w (i, t) donde w (i, t) = 0 si se dibuja la variable de mezcla multivariante b (i, t) = 0 y w (i, t) de la i-ésima distribución de salto si b (i, t) = 1. Una matriz de transmisión T luego mapea w desde el espacio de choque al espacio factorial. Torre descubrió que el mercado, los factores y los rendimientos específicos podían describirse mediante una combinación de rendimientos normales y choques distribuidos según la ley de potencia que se producen a baja frecuencia. Este refinamiento de modelado mejora sustancialmente el desempeño del modelo con respecto a eventos extremos. Como tal, hace posible la construcción de carteras que se comportan de la manera más esperada durante los períodos de turbulencia del mercado.Una matriz de transmisión T luego mapea w desde el espacio de choque al espacio factorial. Torre descubrió que el mercado, los factores y los rendimientos específicos podían describirse mediante una combinación de rendimientos normales y choques distribuidos según la ley de potencia que se producen a baja frecuencia. Este refinamiento de modelado mejora sustancialmente el desempeño del modelo con respecto a eventos extremos. Como tal, hace posible la construcción de carteras que se comportan de la manera más esperada durante los períodos de turbulencia del mercado.Una matriz de transmisión T luego mapea w desde el espacio de choque al espacio factorial. Torre descubrió que el mercado, los factores y los rendimientos específicos podían describirse mediante una combinación de rendimientos normales y choques distribuidos según la ley de potencia que se producen a baja frecuencia. Este refinamiento de modelado mejora sustancialmente el desempeño del modelo con respecto a eventos extremos. Como tal, hace posible la construcción de carteras que se comportan de la manera más esperada durante los períodos de turbulencia del mercado.Como tal, hace posible la construcción de carteras que se comportan de la manera más esperada durante los períodos de turbulencia del mercado.Como tal, hace posible la construcción de carteras que se comportan de la manera más esperada durante los períodos de turbulencia del mercado.

Extensiones a otros tipos de mercado

Aunque originalmente se desarrolló para el mercado de valores de EE. UU., El modelo de riesgo multifactorial se extendió rápidamente a otros mercados de valores y a otros tipos de valores, como bonos y opciones sobre acciones. Entonces surge el problema de cómo construir un modelo de riesgo de clases de activos múltiples. Beckers, Rudd y Stefek realizaron un primer enfoque para el mercado de renta variable mundial. Estimaron un modelo que involucra moneda, país, industrias globales e índices de riesgo globales. Este modelo funcionó bien para carteras construidas por el proceso de arriba hacia abajo de seleccionar primero países y luego seleccionar activos dentro de los países. Tuvo menos éxito en carteras construidas mediante un proceso de abajo hacia arriba en el que las carteras dentro de los países fueron seleccionadas primero por especialistas nacionales y luego se aplicó una superposición global.Además, el modelo global aplicado a la cartera de un solo país a menudo estaría en desacuerdo con el modelo del mercado local. Torre resolvió estas dificultades introduciendo un análisis factorial de dos etapas. La primera etapa consiste en ajustar una serie de modelos de factores locales de la forma familiar que dan como resultado un conjunto de retornos de factores f (i, j, t) donde f (i, j, t) es el retorno al factor i en el j-ésimo local. modelo en t. Luego, los rendimientos de los factores se ajustan a un modelo de segunda etapa de la formaLuego, los rendimientos de los factores se ajustan a un modelo de segunda etapa de la formaLuego, los rendimientos de los factores se ajustan a un modelo de segunda etapa de la forma

 f (i, j, t) = suma_k Y (i, j, k) g (k, t) + h (i, j, t)

Aquí Y da la exposición del factor local (i, j) a la ${\displaystyle k^{t}h}$factor global cuyo retorno es g (k, t) y h (i, j, t) es el retorno del factor local específico. La matriz de covarianza de los rendimientos de los factores se estima como

${\displaystyle \mathbf {F=YGY^{t}+H} }$

donde G es la matriz de covarianzas de factores globales y H es las covarianzas diagonales de bloque de los retornos de factores locales específicos. Este enfoque de modelado permite unir cualquier número de modelos locales para proporcionar un análisis integral de clases de activos múltiples. Esto es particularmente relevante para las carteras de acciones globales y para la gestión de riesgos en toda la empresa.

El modelo de riesgo multifactorial con los refinamientos discutidos anteriormente es el método dominante para controlar el riesgo en carteras administradas profesionalmente. Se estima que más de la mitad del capital mundial se gestiona utilizando estos modelos.

Modelos académicos

Muchos académicos han intentado construir modelos factoriales con un número bastante pequeño de parámetros. Éstas incluyen:

• Modelo de tres factores Fama-French
• Modelo de cuatro factores de Carhart
• Teoría de arbitraje de precios

Sin embargo, todavía no existe un acuerdo general sobre cuántos factores existen. ^[3] Existen numerosos modelos comerciales disponibles, incluidos los de MSCI y el modelo de factor de gestión de activos de Goldman Sachs . ^[4]

Referencias

1. Rosenberg, Barr y Vinay Marathe. La predicción del riesgo de inversión: Riesgo sistemático y residual. 1975.
2. Rickard, John T. y Nicolo G. Torre . "Teoría de la implementación óptima de transacciones". Signals, Systems & Computers, 1998. Acta de la conferencia de la trigésima segunda conferencia de Asilomar en. Vol. 1. IEEE, 1998.
3. Harvey, Campbell R., Yan Liu y Heqing Zhu. "... Y la sección transversal de los rendimientos esperados". Revisión de estudios financieros (2015): hhv059.
4. https://www.msci.com/portfolio-management