Las operaciones matemáticas de multiplicación tienen varias aplicaciones en la música . Aparte de su aplicación a las relaciones de frecuencia de los intervalos (por ejemplo, entonación justa y la duodécima raíz de dos en temperamento igual ), se ha utilizado de otras formas para la técnica de doce tonos y la teoría de conjuntos musicales . Además , la modulación en anillo es un proceso de audio eléctrico que implica la multiplicación que se ha utilizado para efectos musicales.
Una operación multiplicativa es un mapeo en el que se multiplica el argumento . [3] La multiplicación se originó intuitivamente en la expansión de intervalos , incluida la rotación de números de orden de filas de tonos , por ejemplo, en la música de Béla Bartók y Alban Berg . [4] La rotación del número de tono, Fünferreihe o "cinco series" y Siebenerreihe o "siete series", fue descrita por primera vez por Ernst Krenek en Über neue Musik . [5] [4] Teóricos de Princeton, incluidos James K. Randall , [6] Godfrey Winham, [7] y Hubert S. Howe [8] "fueron los primeros en discutirlos y adoptarlos, no solo con respecto a [ sic ] a series de doce tonos ". [9]
Multiplicación de clases de tono módulo 12
Cuando se trata de conjuntos de clases de tono , la multiplicación del módulo 12 es una operación común. Al tratar con los doce tonos , o una fila de tonos , solo hay unos pocos números por los que se puede multiplicar una fila y aún así terminar con un conjunto de doce tonos distintos. Tomando la forma prima o inalterada como P 0 , la multiplicación se indica por M x , siendo x el multiplicador:
- M x ( y ) ≡ xy mod 12
La siguiente tabla enumera todas las posibles multiplicaciones de una fila cromática de doce tonos:
METRO | M × (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) mod 12 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 0 | 3 | 6 | 9 | 0 | 3 | 6 | 9 |
4 | 0 | 4 | 8 | 0 | 4 | 8 | 0 | 4 | 8 | 0 | 4 | 8 |
5 | 0 | 5 | 10 | 3 | 8 | 1 | 6 | 11 | 4 | 9 | 2 | 7 |
6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 |
7 | 0 | 7 | 2 | 9 | 4 | 11 | 6 | 1 | 8 | 3 | 10 | 5 |
8 | 0 | 8 | 4 | 0 | 8 | 4 | 0 | 8 | 4 | 0 | 8 | 4 |
9 | 0 | 9 | 6 | 3 | 0 | 9 | 6 | 3 | 0 | 9 | 6 | 3 |
10 | 0 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 |
11 | 0 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Tenga en cuenta que solo M 1 , M 5 , M 7 y M 11 dan un mapeo uno a uno (un conjunto completo de 12 tonos únicos). Esto se debe a que cada uno de estos números es primo relativo a 12. También es interesante que la escala cromática se asigna al círculo de cuartos con M 5 , o quintos con M 7 , y más generalmente bajo M 7 todos los números pares permanecen iguales mientras los números impares son transpuestos por un tritono . Este tipo de multiplicación se combina frecuentemente con una operación de transposición . Fue descrito por primera vez en forma impresa por Herbert Eimert , bajo los términos "Quartverwandlung" (cuarta transformación) y "Quintverwandlung" (quinta transformación), [10] y ha sido utilizado por los compositores Milton Babbitt , [11] Robert Morris , [12 ] y Charles Wuorinen . [13] Esta operación también explica ciertas transformaciones armónicas en el jazz. [14]
Por tanto, la multiplicación por las dos operaciones significativas (5 y 7) puede designarse con M 5 ( a ) y M 7 ( a ) o M e IM . [4]
- M 1 = Identidad
- M 5 = Ciclo de transformación de cuartos
- M 7 = Ciclo de transformación de quintas
- M 11 = Inversión
- M 11 M 5 = M 7
- M 7 M 5 = M 11
- M 5 M 5 = M 1
- M 7 M 11 M 5 = M 1
- ...
Multiplicación de tono
Pierre Boulez [15] describió una operación que llamó multiplicación de tonos , que es algo similar [ aclaración necesaria ] al producto cartesiano de conjuntos de clases de tonos. Dados dos conjuntos, el resultado de la multiplicación de tonos será el conjunto de sumas ( módulo 12) de todos los posibles emparejamientos de elementos entre los dos conjuntos originales. Su definición:
Por ejemplo, si multiplica un acorde de Do mayor con una díada que contiene C , D , el resultado es:
En este ejemplo, un conjunto de tres tonos multiplicado por un conjunto de dos tonos da un nuevo conjunto de tonos 3 × 2. Dado el espacio limitado de la aritmética de módulo 12, cuando se utiliza este procedimiento se producen muy a menudo tonos duplicados, que generalmente se omiten. Esta técnica se utilizó de manera más famosa en Le marteau sans maître de Boulez de 1955 , así como en su Tercera Sonata para piano , Estructuras II , "Don" y "Tombeau" de Pli selon pli , Eclat (y múltiplos de Eclat ), Figuras — Dobles — Prismes , Domaines y Cummings ist der Dichter , así como la obra coral retirada, Oubli signal lapidé (1952). [16] [17] [18] Esta operación, a diferencia de la multiplicación aritmética y la combinación de transposición de clases de conjuntos, no es conmutativa. [19]
Howard Hanson llamó a esta operación de convolución matemática conmutativa [ contradictoria ] "superposición" [20] o "proyección @" y usó la notación "/" indistintamente. Por tanto, "p @ m" o "p / m" significa "quinta perfecta en la tercera mayor", por ejemplo: {CEGB}. Específicamente, señaló que dos formas de tríada podrían multiplicarse, o una tríada multiplicada por sí misma, para producir una escala resultante. La última "cuadratura" de una tríada produce una escala particular altamente saturada en casos de la tríada fuente. [21] Así, "pmn", el nombre de Hanson para la tríada mayor común, cuando se eleva al cuadrado, es "PMN", por ejemplo: {CDEGG ♯ B}.
Nicolas Slonimsky utiliza esta operación, no generalizada, para formar escamas 1300 multiplicando las simétricas tritonos , acordes aumentados , disminuidos acordes de séptima , y escalas wholetone por la suma de 3 factores que llamó la interpolación, infrapolation y ultrapolation. [22] La combinación de interpolación, infrapolación y ultrapolación, formando oblicuamente infra-interpolación, infra-ultrapolación e infra-inter-ultrapolación, suma aditivamente lo que es efectivamente una segunda sonoridad. Esta segunda sonoridad, multiplicada por la primera, da su fórmula para generar escalas y sus armonizaciones .
Joseph Schillinger utilizó la idea, sin desarrollar, para categorizar los estilos armónicos comunes del siglo XIX y principios del XX como producto del movimiento de raíz armónico horizontal y la estructura armónica vertical. [23] Algunos de los estilos de los compositores que cita aparecen en la siguiente tabla de multiplicar.
Tipo de acorde | ||||
---|---|---|---|---|
Escala de raíz | Acorde mayor | Acorde aumentado | Acorde menor | Acorde de séptima disminuido |
Acorde de séptima disminuido | Escala octatónica Richard Wagner | Escala cromática | Escala octatónica | |
Acorde aumentado | Escala aumentada Franz Liszt | Claude Debussy Maurice Ravel | Escala aumentada Nikolai Rimsky-Korsakov | |
Escala de Wholetone | Escala cromática Claude Debussy Maurice Ravel | Escala de Wholetone Claude Debussy Maurice Ravel | Escala cromática Claude Debussy Maurice Ravel | |
Escala cromática | Escala cromática Richard Wagner | Escala cromática | Escala cromática | Escala cromática |
Acorde de cuarto | Escala mayor | Escala menor natural | ||
Acorde mayor | Analógico de 6 notas de escala armónica mayor | Escala aumentada | Escala octatónica | |
Acorde menor | Escala aumentada | Analógico de 6 notas de escala armónica mayor | Escala octatónica | |
Escala diatónica | Escala undecatónica | Escala cromática | Escala undecatónica | Escala cromática |
La aproximación de los 12 tonos de la música occidental mediante matemáticas de módulo 12 , que forman el círculo de semitonos , significa que los intervalos musicales también se pueden considerar como ángulos en un sistema de coordenadas polares , apilamiento de intervalos idénticos como funciones de movimiento armónico y transposición. como rotación alrededor de un eje . Por lo tanto, en el ejemplo de multiplicación anterior de Hanson, "p @ m" o "p / m" ("quinto perfecto en el tercero mayor", por ejemplo: {CEGB}) también significa "quinto perfecto, superpuesto a un quinto perfecto girado 1/3 de la circunferencia del Círculo de Medios Pasos ". A continuación, se muestra una tabla de conversión de intervalos a medidas angulares (tomados como números negativos para la rotación en el sentido de las agujas del reloj):
Intervalo | Círculo de semitonos | Círculo de quintos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Medios pasos | Radianes | Grados | Quintos | Radianes | Grados | |
Unísono | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Segundo menor | 1 | π/6 | 30 | 7 | 7 π/6 | 210 |
Segundo mayor | 2 | π/3 | 60 | 2 | π/3 | 60 |
Tercio menor | 3 | π/2 | 90 | 9 | 3 π/2 | 270 |
Tercio mayor | 4 | 2 π/3 | 120 | 4 | 2 π/3 | 120 |
Cuarto perfecto | 5 | 5 π/6 | 150 | 11 | 11 π/6 | 330 |
Quinta disminuida o cuarta aumentada | 6 | π | 180 | 6 | π | 180 |
Quinto perfecto | 7 | 7 π/6 | 210 | 1 | π/6 | 30 |
Menor sexto | 8 | 4 π/3 | 240 | 8 | 4 π/3 | 240 |
Sexto mayor | 9 | 3 π/2 | 270 | 3 | π/2 | 90 |
Séptimo menor | 10 | 5 π/3 | 300 | 10 | 5 π/3 | 300 |
Séptima mayor | 11 | 11 π/6 | 330 | 5 | 5 π/6 | 150 |
Octava | 12 | 2 π | 360 | 12 | 2 π | 360 |
Esta interpretación angular de intervalos es útil para visualizar un ejemplo muy práctico de multiplicación en música: los géneros Euler-Fokker usados para describir la afinación de entonación justa de los instrumentos de teclado. [24] Cada género representa una función armónica como "3 quintos perfectos apilados" u otra sonoridad como {CGDF ♯ }, que, cuando se multiplica por los ángulos correctos de copia, llena aproximadamente el espacio circunferencial 12TET del Círculo. de quintos . Sería posible, aunque no musicalmente bonito, afinar una tríada aumentada de dos tercios mayores perfectos que no compiten , luego (multiplicar) afinar dos quintas templadas arriba y 1 debajo de cada nota del acorde aumentado; este es el género Euler-Fokker [555]. Se obtiene un resultado diferente al comenzar con las "3 quintas perfectas apiladas", y a partir de estas notas sin tiempo se afina una tercera mayor templada arriba y abajo; este es el género Euler-Fokker [333].
Multiplicación de tiempo
Joseph Schillinger describió una operación de " multiplicación de tiempo polinomial " ( polinomio se refiere a cualquier ritmo que consta de más de una duración) correspondiente aproximadamente a la de la multiplicación de tono anterior. [25] [ página necesaria ] Un tema, reducido a una serie consistente de números enteros que representan la duración de un cuarto, octavo o semicorchea de cada una de las notas del tema, podría multiplicarse por sí mismo o por la serie de otro tema para producir una variación coherente y relacionada. Especialmente, la serie de un tema se puede elevar al cuadrado o al cubo o llevar a potencias superiores para producir una saturación de material relacionado.
Transformacion afin
Herbert Eimert describió lo que llamó los "ocho modos" de la serie de doce tonos, todas formas especulares entre sí. La inversa se obtiene a través de un espejo horizontal, la retrógrada a través de un espejo vertical, la retrógrada-inversa a través de un espejo horizontal y vertical, y el "ciclo-de-transformada de cuartos" o Quartverwandlung y "ciclo-de-quintos- transform "o Quintverwandlung obtenido a través de un espejo inclinado. [27] Con los retrogrados de estas transformadas y el primo, hay ocho permutaciones .
Además, uno puede mover el espejo en un ángulo, es decir, el "ángulo" de un cuarto o quinto, de modo que la fila cromática se refleje en ambos ciclos. . . . De esta forma, se obtiene la transformada de ciclo de cuartos y la transformada de ciclo de quintos de la fila. [28]
Joseph Schillinger abrazó no sólo el contrapunto inverso , retrógrado y retrógrado-inverso —operaciones de multiplicación de matrices en el espacio vectorial euclidiano— sino también sus contrapartes rítmicas. Por lo tanto, podría describir una variación de tema usando los mismos tonos en el mismo orden, pero empleando sus valores de tiempo originales en orden retrógrado . Vio el alcance de este universo multiplicador más allá de la simple reflexión , para incluir la transposición y la rotación (posiblemente con la proyección de regreso a la fuente), así como la dilatación que anteriormente se había limitado en uso a la dimensión del tiempo (a través del aumento y la disminución ). [29] [ página necesaria ] Por lo tanto, podría describir otra variación de tema, o incluso de una escala básica, multiplicando las cuentas de medio paso entre cada par sucesivo de notas por algún factor, posiblemente normalizando a la octava mediante la operación Módulo -12. [30] [ página necesaria ]
Relación Z
Algunos acordes relacionados con Z están conectados por M o IM (multiplicación por 5 o multiplicación por 7), debido a entradas idénticas para 1 y 5 en el vector APIC . [31]
Referencias
- Antokoletz, Elliott. 1993. "Cuartetos de cuerda del período medio". En The Bartok Companion , editado por Malcolm Gillies, 257–77. Londres: Faber y Faber. ISBN 0-571-15330-5 (en caja); ISBN 0-571-15331-3 (pbk).
- Eimert, Herbert (1950). Lehrbuch der Zwölftontechnik . Wiesbaden : Breitkopf & Härtel.
- Hanson, Howard (1960). Materiales armónicos de la música moderna . Ciudad de Nueva York: Appleton-Century-Crofts.
- Heinemann, Stephen. 1993. "Multiplicación de conjuntos de clases de tono en Le Marteau sans maître de Boulez. DMA diss., Universidad de Washington.
- Morris, Robert D. (1997). "Algunas observaciones sobre probabilidades y fines ". Perspectivas de la nueva música . 35 (2 - Verano): 237–256.
- Schillinger, Joseph (1941). El sistema de composición musical de Schillinger . Ciudad de Nueva York: Carl Fischer. ISBN 0306775220.
- Schuijer, Michiel (2008). Análisis de la música atonal: teoría de conjuntos de clases de tono y sus contextos . Estudios Eastman en Música. Rochester NY: Prensa de la Universidad de Rochester. ISBN 9781580462709.
- Winham, Godfrey (1970). "Composición con matrices". Perspectivas de la nueva música . 9 (1 - Otoño-Invierno): 43–67.
Notas al pie
- ^ Antokoletz 1993 , p. 260, citado en Schuijer 2008 , pág. 77–8.
- ↑ Schuijer , 2008 , p. 79.
- ^ Rahn, John (1980). Teoría atónica básica . Serie musical de Longman. Nueva York y Londres: Longman. pag. 53.Reimpreso, Nueva York: Schirmer Books; Londres: Collier Macmillan, 1987.
- ↑ a b c Schuijer , 2008 , págs. 77–8.
- ^ Krenek, Ernst . 1937. Über neue Musik: Sechs Vorlesungen zur Einführung in die teoretischen Grundlagen . Viena: Ringbuchhandlung.
- ^ Randall, James K. 1962. "Correlación de tiempo de tono". Inédito. Citado en Schuijer 2008 , p. 82.
- ^ Winham 1970 .
- ^ Howe, Hubert S. (1965). "Algunas propiedades combinacionales de estructuras de tono". Perspectivas de la nueva música . 4 (1 - Otoño-Invierno): 45–61.
- ↑ Schuijer , 2008 , p. 81.
- ^ Eimert 1950 , págs. 29-33.
- ^ Morris 1997 , págs. 238, 242–3; Winham 1970 , págs. 65–6.
- ^ Morris 1997 , págs. 238–9, 243.
- ^ Hibbard, William (1969). "Charles Wuorinen: la política de la armonía ". Perspectivas de la nueva música . 7 (2 - Primavera-Verano): 155–166. págs. 157–8.
- ^ Morris, Robert D. (1982). " John Rahn , teoría atónica básica . Nueva York: Longman, 1980 (revisión)". Espectro de teoría musical (4): 138-154. págs. 153–54.
- ^ Boulez, Pierre (1971). Boulez en Music Today . Traducido por Susan Bradshaw; Richard Rodney Bennett. Cambridge MA: Harvard University Press. págs. 39–40, 79–80. ISBN 0-674-08006-8.
- ↑ Koblyakov, Lev. 1990. Pierre Boulez: Un mundo de armonía . Chur: Editores académicos de Harwood. pag. 32. ISBN 3-7186-0422-1 .
- ^ Heinemann, Stephen (1998). "Multiplicación de conjuntos de clases de tono en teoría y práctica". Espectro de teoría musical . 20 (1 - Primavera): 72–96.
- ^ Heinemann 1993 .
- ^ Heinemann 1993 , p. 24.
- ^ Hanson 1960 , págs.44, 167.
- ^ Hanson 1960 , p. 167.
- ^ Slonimsky, Nicolás. 1947. Tesauro de escalas y patrones melódicos . Nueva York: Charles Scribner Sons. pag. v ISBN 002-6118505 .
- ↑ Schillinger , 1941 , p. 147.
- ^ Fokker, Adriaan Daniël (1987). Composiciones musicales seleccionadas . Utrecht : The Diapason Press. ISBN 90-70907-11-9.
- ^ Schillinger 1941 , 70– ?.
- ↑ Eimert 1950 , [ página necesaria ] como se reproduce con modificaciones menores en Schuijer 2008 , p. 80.
- ^ Eimert 1950 , págs. 28–9.
- ^ Eimert 1950 , p. 29, traducido en Schuijer 2008 , p. 81.
- ↑ Schillinger , 1941 , págs. 187 y siguientes.
- ↑ Schillinger , 1941 , págs. 115 y siguientes, 208 y siguientes.
- ^ Schuijer , 2008 , págs. 98n18.
Otras lecturas
- Losada, Catherine C. 2014. "Multiplicación compleja, estructura y proceso: armonía y forma en las estructuras de Boulez II". Espectro de teoría musical 36, núm. 1 (primavera): 86-120.
- Morris, Robert D. 1977. "Sobre la generación de filas de doce tonos de función de orden múltiple". Revista de teoría musical 21, no. 2 (Otoño): 238–62.
- Morris, Robert D. 1982–83. " Combinatoriaidad sin el Agregado ". Perspectivas de la nueva música 21, núms. 1 y 2 (otoño-invierno / primavera-verano): 432–86.
- Morris, Robert D. 1990. "Complementación de clases de tono y sus generalizaciones". Revista de teoría musical 34, no. 2 (Otoño): 175–245.
- Starr, Daniel V. 1978. "Conjuntos, invariancia y particiones". Revista de teoría musical 22, no. 1: 1–42.