En la educación matemática , hubo un debate sobre la cuestión de si la operación de multiplicación debería enseñarse como una forma de suma repetida . Los participantes en el debate plantearon múltiples perspectivas, incluidos los axiomas de la aritmética, la pedagogía, el aprendizaje y el diseño instruccional, la historia de las matemáticas, la filosofía de las matemáticas y las matemáticas basadas en computadora.
Antecedentes del debate
A principios de la década de 1990, Leslie Steffe propuso el esquema de conteo que usan los niños para asimilar la multiplicación en su conocimiento matemático. Jere Confrey contrastó el esquema de conteo con la conjetura de la división. Confrey sugirió que contar y dividir son dos primitivos cognitivos independientes y separados. Esto provocó discusiones académicas en forma de presentaciones de conferencias, artículos y capítulos de libros. [ cita requerida ]
El debate se originó con la difusión más amplia de planes de estudio que enfatizaban escalar, hacer zoom, plegar y medir tareas matemáticas en los primeros años. Estas tareas requieren y apoyan modelos de multiplicación que no se basan en el conteo o la suma repetida. Debates en torno a la pregunta: "¿La multiplicación es realmente una suma repetida?" apareció en foros de discusión de padres y maestros a mediados de la década de 1990. [ cita requerida ]
Keith Devlin escribió una columna de la Asociación Matemática de América titulada "No es una adición repetida" que siguió a sus intercambios de correo electrónico con los maestros, después de mencionar brevemente el tema en un artículo anterior. [1] La columna vinculaba los debates académicos con los debates de los profesionales. Suscitó múltiples discusiones en blogs y foros de investigación y profesionales. Keith Devlin ha seguido escribiendo sobre este tema. [2] [3] [4]
Perspectivas pedagógicas
De contar a multiplicar
En los planes de estudio y estándares típicos de matemáticas, como la Iniciativa de Estándares Estatales Básicos Comunes , el significado del producto de los números reales avanza a través de una serie de nociones que generalmente comienzan con sumas repetidas y finalmente residen en la escala. Una vez que los números naturales (o enteros) han sido definidos y entendidos como un medio para contar, se introduce al niño en las operaciones básicas de la aritmética, en este orden: suma, resta, multiplicación y división. Estas operaciones, aunque se introdujeron en una etapa muy temprana de la educación matemática de un niño, tienen un impacto duradero en el desarrollo del sentido numérico en los estudiantes como habilidades numéricas avanzadas. En estos planes de estudio, la multiplicación se introduce inmediatamente después de formular preguntas relacionadas con la suma repetida, como: "Hay 3 bolsas de 8 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas hay en total? Un estudiante puede hacer:
o elige la alternativa
Este enfoque cuenta con el apoyo de varios años de enseñanza y aprendizaje, y establece la percepción de que la multiplicación es solo una forma más eficiente de sumar. Una vez que se introduce 0, no afecta ningún cambio significativo porque
que es 0, y la propiedad conmutativa nos llevaría también a definir
Así, la suma repetida se extiende a los números enteros (0, 1, 2, 3, 4, ...). El primer desafío a la creencia de que la multiplicación es una suma repetida aparece cuando los estudiantes comienzan a trabajar con fracciones. Desde el punto de vista matemático, la multiplicación como suma repetida puede extenderse a fracciones. Por ejemplo,
literalmente pide "uno y tres cuartos de los cinco sextos". Esto es importante más adelante porque a los estudiantes se les enseña que, en los problemas de palabras, la palabra "de" generalmente indica una multiplicación. Sin embargo, esta extensión es problemática para muchos estudiantes, que comienzan a tener dificultades con las matemáticas cuando se introducen las fracciones. [ cita requerida ] Además, el modelo de adición repetida debe modificarse sustancialmente cuando entran en juego números irracionales .
Con respecto a estos temas, los educadores matemáticos han debatido si las dificultades de los estudiantes con las fracciones y los números irracionales se ven exacerbadas al ver la multiplicación como una suma repetida durante mucho tiempo antes de que se introduzcan estos números y, en consecuencia, si es aceptable modificar significativamente las matemáticas rigurosas para la educación primaria, lo que lleva a que los niños crean declaraciones que luego resultan incorrectas.
De escalar a multiplicar
Una teoría de la multiplicación del aprendizaje se deriva del trabajo de los educadores matemáticos rusos del Círculo Vygotsky, que estuvo activo en la Unión Soviética entre las guerras mundiales. Su contribución se conoce como la conjetura de la división.
Otra teoría del aprendizaje de la multiplicación se deriva de quienes estudian la cognición incorporada , que examinaron las metáforas subyacentes de la multiplicación.
Juntas, estas investigaciones han inspirado planes de estudio con tareas "inherentemente multiplicativas" para niños pequeños. [ cita requerida ] Ejemplos de estas tareas incluyen: estiramiento elástico, zoom, plegado, proyección de sombras o caída de sombras. Estas tareas no dependen de contar y no se pueden conceptualizar fácilmente en términos de sumas repetidas.
Los temas de debate relacionados con estos planes de estudio incluyen:
- si estas tareas son accesibles para todos los niños pequeños o solo para los mejores estudiantes;
- si los niños pueden lograr la fluidez computacional si ven la multiplicación como una escala en lugar de una suma repetida;
- si los niños pueden confundirse con los dos enfoques separados de la multiplicación que se presentan juntos; y
- si el escalado y la adición repetida deben introducirse por separado y, de ser así, ¿cuándo y en qué orden?
¿Qué se puede multiplicar?
La multiplicación a menudo se define para números naturales , luego se extiende a números enteros, fracciones y números irracionales. Sin embargo, el álgebra abstracta tiene una definición más general de multiplicación como una operación binaria en algunos objetos que pueden o no ser números. En particular, se pueden multiplicar números complejos , vectores , matrices y cuaterniones . Algunos educadores [ cita requerida ] creen que ver la multiplicación exclusivamente como una suma repetida durante la educación primaria puede interferir con la comprensión posterior de estos aspectos de la multiplicación.
Modelos y metáforas que fundamentan la multiplicación
En el contexto de la educación matemática, los modelos son representaciones concretas de ideas matemáticas abstractas que reflejan algunas o todas las cualidades esenciales de la idea. Los modelos a menudo se desarrollan como materiales manipulables físicos o virtuales y materiales curriculares que los acompañan. Una parte del debate sobre la multiplicación y la suma repetida es la comparación de diferentes modelos y sus materiales curriculares. Los diferentes modelos pueden admitir o no la multiplicación de diferentes tipos de números; por ejemplo, el modelo de conjuntos [5] en el que los números se presentan como colecciones de objetos, y la multiplicación como la unión de múltiples conjuntos con el mismo número de objetos en cada uno, no puede extenderse a la multiplicación de números fraccionarios o reales. Los diferentes modelos también pueden ser relevantes para aplicaciones específicas de la aritmética; por ejemplo, surgen modelos de combinación en probabilidad y biología.
Referencias
- ^ Devlin, Keith (junio de 2008). "No es una adición repetida" . Asociación Matemática de América . Consultado el 30 de marzo de 2012 .
- ^ Devlin, Keith (julio-agosto de 2008). "Aún no es una adición repetida" . Asociación Matemática de América . Consultado el 2 de abril de 2012 .
- ^ Devlin, Keith (septiembre de 2008). "Multiplicación y esas molestas ortografías británicas" . Asociación Matemática de América . Consultado el 2 de abril de 2012 .
- ^ Devlin, Keith (enero de 2011). "¿Qué es exactamente la multiplicación?" . Asociación Matemática de América . Consultado el 2 de abril de 2012 .
- ^ Lakoff, George; Núñez, Rafael (2000). De dónde provienen las matemáticas: cómo la mente encarnada da vida a las matemáticas . Libros básicos. ISBN 0-465-03771-2.