En teoría de números , una partición multiplicativa o factorización desordenada de un número entero n es una forma de escribir n como un producto de números enteros mayores que 1, tratando dos productos como equivalentes si difieren solo en el orden de los factores. El número n se considera en sí mismo uno de estos productos. Las particiones multiplicativas son muy paralelas al estudio de las particiones multipartitas , discutido en Andrews (1976) , que son particiones aditivas de secuencias finitas de números enteros positivos, con la adición hecha puntualmente. Aunque el estudio de las particiones multiplicativas ha estado en curso desde al menos 1923, el nombre "partición multiplicativa" parece haber sido introducido por Hughes y Shallit (1983) . Anteriormente se había utilizado el nombre latino "factorisatio numerorum". MathWorld utiliza el término factorización desordenada .
Ejemplos de
- El número 20 tiene cuatro particiones multiplicativas: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5 y 20.
- 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 y 81 son las cinco particiones multiplicativas de 81 = 3 4 . Como es la cuarta potencia de un primo , 81 tiene el mismo número (cinco) de particiones multiplicativas que 4 de particiones aditivas .
- El número 30 tiene cinco particiones multiplicativas: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.
- En general, el número de particiones multiplicativas de un número libre de cuadrados con i factores primos es el i-ésimo número de Bell , B i .
Solicitud
Hughes y Shallit (1983) describen una aplicación de particiones multiplicativas para clasificar números enteros con un número dado de divisores. Por ejemplo, los números enteros con exactamente 12 divisores toman las formas p 11 , p × q 5 , p 2 × q 3 , y p × q × r 2 , donde p , q , y r son distintos números primos ; estas formas corresponden a las particiones multiplicativas 12, 2 × 6, 3 × 4 y 2 × 2 × 3 respectivamente. De manera más general, para cada partición multiplicativa
del entero k , corresponde una clase de enteros que tienen exactamente k divisores, de la forma
donde cada p i es un primo distinto. Esta correspondencia se deriva de la propiedad multiplicativa de la función divisor .
Límites en el número de particiones
Oppenheim (1926) acredita a McMahon (1923) con el problema de contar el número de particiones multiplicativas de n ; desde entonces, este problema ha sido estudiado por otros bajo el nombre latino de factorisatio numerorum . Si el número de particiones multiplicativos de n es un n , McMahon y Oppenheim observado que su Dirichlet series función de generación de f ( s ) tiene la representación del producto
La secuencia de números de un n comienza
Oppenheim también reclamó un límite superior en una n , de la forma
pero como demostraron Canfield, Erds & Pomerance (1983) , este límite es erróneo y el límite verdadero es
Ambos límites no están lejos de ser lineales en n : tienen la forma n 1 − o (1) . Sin embargo, el valor típico de una n es mucho menor: el valor promedio de una n , promediado sobre un intervalo x ≤ n ≤ x + N , es
un límite que tiene la forma n o (1) ( Luca, Mukhopadhyay & Srinivas 2008 ).
Resultados adicionales
Canfield, Erdös y Pomerance (1983) observar y Luca, Mukhopadhyay y Srinivas (2008) demuestran que la mayoría de los números no pueden surgir como el número de un n de particiones multiplicativos de algunos n : el número de valores de menos de N que surgen de esta manera es N O (log log log N / log log N ) . Además, Luca, Mukhopadhyay y Srinivas (2008) muestran que la mayoría de los valores de n no son múltiplos de a n : el número de valores n ≤ N tal que a n divide n es O ( N / log 1 + o (1) N ) .
Ver también
Referencias
- Andrews, G. (1976), La teoría de las particiones , Addison-Wesley, capítulo 12.
- Canfield, ER; Erdős, Paul ; Pomerance, Carl (1983), "Sobre un problema de Oppenheim sobre" factorisatio numerorum " ", Journal of Number Theory , 17 (1): 1–28, doi : 10.1016 / 0022-314X (83) 90002-1.
- Hughes, John F .; Shallit, Jeffrey (1983), "Sobre el número de particiones multiplicativas", American Mathematical Monthly , 90 (7): 468–471, doi : 10.2307 / 2975729 , JSTOR 2975729.
- Knopfmacher, A .; Mays, M. (2006), "Factorizaciones ordenadas y no ordenadas de enteros", Mathematica Journal , 10 : 72–89. Como lo cita MathWorld .
- Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), Sobre la función "factorisatio numerorum" de Oppenheim , arXiv : 0807.0986 , Bibcode : 2008arXiv0807.0986L.
- MacMahon, PA (1923), "Serie de Dirichlet y la teoría de particiones" , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 22 : 404–411, doi : 10.1112 / plms / s2-22.1.404[ enlace muerto ] .
- Oppenheim, A. (1926), "Sobre una función aritmética" , Journal of the London Mathematical Society , 1 (4): 205-211, doi : 10.1112 / jlms / s1-1.4.205 , archivado desde el original en 2013- 04-15.
Otras lecturas
- Knopfmacher, A .; Mays, ME (2005), "A survey of factorization count functions" (PDF) , International Journal of Number Theory , 1 (4): 563–581, doi : 10.1142 / S1793042105000315
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Factorización desordenada" . MathWorld .