Atractor de desplazamiento múltiple

Atractor de doble desplazamiento de una simulación

En las matemáticas de los sistemas dinámicos , el atractor de doble voluta (a veces conocido como atractor de Chua ) es un atractor extraño observado desde un circuito caótico electrónico físico (generalmente, circuito de Chua ) con una sola resistencia no lineal (ver Diodo de Chua ). El sistema de doble desplazamiento se describe a menudo mediante un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y una ecuación lineal por partes de 3 segmentos (consulte las ecuaciones de Chua ). Esto hace que el sistema sea fácilmente simulado numéricamente y que se manifieste fácilmente físicamente debido al diseño simple de los circuitos de Chua.

Usando un circuito de Chua, esta forma se ve en un osciloscopio usando las señales de salida X, Y y Z del circuito. Este atractor caótico se conoce como el pergamino doble debido a su forma en el espacio tridimensional, que es similar a dos anillos parecidos a Saturno conectados por líneas arremolinadas.

El atractor se observó por primera vez en simulaciones, luego se realizó físicamente después de que Leon Chua inventara el circuito caótico autónomo que se conoció como circuito de Chua. ^[1] Se demostró rigurosamente que el atractor de doble voluta del circuito de Chua era caótico ^{[2] a} través de varios mapas de retorno de Poincaré del atractor derivados explícitamente mediante composiciones de los vectores propios del espacio de estados tridimensional. ^[3]

El análisis numérico del atractor de doble voluta ha demostrado que su estructura geométrica está formada por un número infinito de capas fractales. Cada sección transversal parece ser un fractal en todas las escalas. ^[4] Recientemente, también se ha informado del descubrimiento de atractores ocultos dentro del doble pergamino. ^[5]

En 1999, Guanrong Chen (陈 关 荣) y Ueta propusieron otro atractor caótico de doble desplazamiento, llamado sistema Chen o atractor Chen. ^{[6] [7]}

Atractor de Chen

El sistema Chen se define de la siguiente manera ^[7]

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}$

${\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(c-a)x(t)-x(t)z(t)+cy(t)}$

${\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}$

Las gráficas del atractor de Chen se pueden obtener con el método de Runge-Kutta : ^[8]

parámetros: a = 40, c = 28, b = 3

condiciones iniciales: x (0) = -0,1, y (0) = 0,5, z (0) = -0,6

Otros atractores

Los atractores de múltiples rollos también llamados atractores de n- rollos incluyen el atractor Lu Chen, el atractor caótico Chen modificado, el atractor PWL Duffing, el atractor Rabinovich Fabrikant , el atractor caótico Chua modificado, es decir, múltiples rollos en un solo atractor. ^[9]

Atractor de Lu Chen

Atractor de Lu Chen

Jinhu Lu (吕金虎) y Guanrong Chen propusieron un sistema Chen extendido con desplazamiento múltiple ^[9].

Ecuación del sistema de Lu Chen

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}$

${\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-x(t)z(t)+cy(t)+u}$

${\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}$

parámetros: a = 36, c = 20, b = 3, u = -15.15

condiciones iniciales: x (0) = .1, y (0) = .3, z (0) = -.6

Atractor de Lu Chen

Atractor Lu Chen modificado

Ecuaciones del sistema: ^[9]

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t)),}$

${\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(c-a)x(t)-x(t)f+cy(t),}$

${\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}$

En el cual

${\displaystyle f=d0z(t)+d1z(t-\tau )-d2\sin(z(t-\tau ))}$

parámetros: = a = 35, c = 28, b = 3, d0 = 1, d1 = 1, d2 = -20..20, tau = .2

initv: = x (0) = 1, y (0) = 1, z (0) = 14

Atractor caótico Chua modificado

Atractor Chua

En 2001, Tang et al. propuso un sistema caótico Chua modificado ^[10]

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\alpha (y(t)-h)}$

${\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-y(t)+z(t)}$

${\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=-\beta y(t)}$

En el cual

${\displaystyle h:=-b\sin \left({\frac {\pi x(t)}{2a}}+d\right)}$

parámetros: = alfa = 10.82, beta = 14.286, a = 1.3, b = .11, c = 7, d = 0

initv: = x (0) = 1, y (0) = 1, z (0) = 0

Atractor caótico de PWL Duffing

Atractor Duffing PWL

Aziz Alaoui investigó la ecuación de Duffing de PWL en 2000: ^[11]

Sistema Duffing PWL:

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=y(t)}$

${\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=-m_{1}x(t)-(1/2(m_{0}-m_{1}))(|x(t)+1|-|x(t)-1|)-ey(t)+\gamma \cos(\omega t)}$

parámetros: = e = .25, gamma = .14+ (1/20) i, m0 = -0.845e-1, m1 = .66, omega = 1; c: = (.14+ (1/20) i) ， i = -25 ... 25;

initv: = x (0) = 0, y (0) = 0;

Sistema caótico de Lorenz modificado

Sistema de Lorenz modificado

Miranda & Stone propuso un sistema de Lorenz modificado: ^[12]

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=1/3*(-(a+1)x(t)+a-c+z(t)y(t))+((1-a)(x(t)^{2}-y(t)^{2})+(2(a+c-z(t)))x(t)y(t))}$${\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=1/3((c-a-z(t))x(t)-(a+1)y(t))+((2(a-1))x(t)y(t)+(a+c-z(t))(x(t)^{2}-y(t)^{2}))}$${\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=1/2(3x(t)^{2}y(t)-y(t)^{3})-bz(t)}$

parámetros: a = 10, b = 8/3, c = 137/5;

condiciones iniciales: x (0) = -8, y (0) = 4, z (0) = 10

Galería

• 

  Atractor de Chen

• 

  parámetros a = 35, c = 27, b = 2.8, x (0) = -.1, y (0) = .3, z (0) = -.6

• 

  Atractor de Lu Chen

• 

  Diagrama de arce del atractor de volutas N basado en Chen con seno y tau

• 

  9 atractor caótico Chua modificado con desplazamiento

• 

  Gráfico xy del atractor caótico Chua modificado con 9 volutas

• 

  Gráfico xy del atractor caótico de PWL Duffing

• 

  Trama de atractor caótico de PWL Duffing

• 

  atractor de Lorenz modificado

• 

  Gráfico de atractor xy de Rabinovich Fabrikant

Referencias

1. Matsumoto, Takashi (diciembre de 1984). "Un atractor caótico del circuito de Chua" (PDF) . Transacciones IEEE en circuitos y sistemas . IEEE . CAS-31 (12): 1055–1058. doi : 10.1109 / TCS.1984.1085459 .
2. Chua, León; Motomasa Komoru; Takashi Matsumoto (noviembre de 1986). "La familia de doble desplazamiento" (PDF) . Transacciones IEEE en circuitos y sistemas . CAS-33 (11).
3. Chua, León (2007). "Circuitos de Chua" . Scholarpedia . 2 (10): 1488. Código bibliográfico : 2007SchpJ ... 2.1488C . doi : 10.4249 / scholarpedia.1488 .
4. Chua, León (2007). "Geometría fractal del atractor de doble pergamino" . Scholarpedia . 2 (10): 1488. Código bibliográfico : 2007SchpJ ... 2.1488C . doi : 10.4249 / scholarpedia.1488 .
5. Leonov GA; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV (2011). "Localización de atractores ocultos de Chua" (PDF) . Physics Letters A . 375 (23): 2230–2233. Código bibliográfico : 2011PhLA..375.2230L . doi : 10.1016 / j.physleta.2011.04.037 .
6. Chen G., Ueta T. Otro atractor caótico. Revista de bifurcación y caos, 1999 9: 1465.
7. CHEN, GUANRONG; UETA, TETSUSHI (julio de 1999). "Otro Atractor Caótico" . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 09 (7): 1465–1466. doi : 10.1142 / s0218127499001024 . ISSN 0218-1274 . 
8. 阎振亚 著 《复杂 非线性 波 的 构造 性 理论 及其 应用》 第 17 页 SCIENCEP 2007 年
9. Chen, Guanrong; Jinhu Lu (2006). "Generación de atractores caóticos de desplazamiento múltiple: teorías, métodos y aplicaciones" (PDF) . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 16 (4): 775–858. Código bibliográfico : 2006IJBC ... 16..775L . doi : 10.1142 / s0218127406015179 . Consultado el 16 de febrero de 2012 .
10. Chen, Guanrong; Jinhu Lu (2006). "Generación de atractores caóticos de desplazamiento múltiple: teorías, métodos y aplicaciones" (PDF) . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 16 (4): 793–794. Código bibliográfico : 2006IJBC ... 16..775L . CiteSeerX 10.1.1.927.4478 . doi : 10.1142 / s0218127406015179 . Consultado el 16 de febrero de 2012 .  
11. J. Lu, G. Chen p. 837
12. J.Liu y G Chen p834

Enlaces externos

• El atractor de doble voluta y el circuito de Chua
• Lozi, R .; Pchelintsev, AN (2015). "Un nuevo método numérico confiable para calcular soluciones caóticas de sistemas dinámicos: el caso del atractor de Chen" . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 25 (13): 1550187. doi : 10.1142 / S0218127415501874 .