En la teoría de la información cuántica , las bases mutuamente insesgadas en el espacio de Hilbert C d son dos bases ortonormales y tal que el cuadrado de la magnitud del producto interno entre cualquier base establece y es igual a la inversa de la dimensión d : [1]
Estas bases son insesgadas en el siguiente sentido: si un sistema se prepara en un estado que pertenece a una de las bases, entonces se predice que todos los resultados de la medición con respecto a la otra base ocurrirán con la misma probabilidad.
Descripción general
La noción de bases mutuamente insesgadas fue introducida por primera vez por Schwinger en 1960, [2] y la primera persona en considerar aplicaciones de bases mutuamente insesgadas fue Ivanovic [3] en el problema de la determinación del estado cuántico.
Otra área donde se pueden aplicar bases mutuamente insesgadas es la distribución de claves cuánticas , más específicamente en el intercambio seguro de claves cuánticas. [4] Las bases mutuamente insesgadas se utilizan en muchos protocolos, ya que el resultado es aleatorio cuando una medición se realiza sobre una base insesgada con respecto a aquella en la que se preparó el estado. Cuando dos partes remotas comparten dos estados cuánticos no ortogonales, los intentos de un fisgón de distinguirlos mediante mediciones afectarán al sistema y esto puede detectarse. Si bien muchos protocolos de criptografía cuántica se han basado en tecnologías de 1 qubit , el empleo de estados de mayor dimensión, como los qutrits , permite una mejor seguridad contra las escuchas clandestinas . [4] Esto motiva el estudio de bases mutuamente insesgadas en espacios de dimensiones superiores.
Otros usos de bases mutuamente insesgadas incluyen reconstrucción de estados cuánticos , [5] códigos de corrección de errores cuánticos , [6] [7] detección de entrelazamiento cuántico , [8] [9] y el llamado "problema del rey medio". [10] [11]
Problema de existencia
Dejar denotar el número máximo de bases mutuamente insesgadas en el espacio d- dimensional de Hilbert C d . Es una pregunta abierta [12] cuántas bases mutuamente insesgadas,, se puede encontrar en C d , para d arbitrario .
En general, si
es la factorización de potencia prima de d , donde
entonces el número máximo de bases mutuamente insesgadas que se pueden construir satisface [1]
De ello se deduce que si la dimensión de un espacio de Hilbert d es una potencia entera de un número primo, entonces es posible encontrar d + 1 bases mutuamente insesgadas. Esto se puede ver en la ecuación anterior, ya que la descomposición del número primo de d simplemente es. Por lo tanto,
Por lo tanto, se conoce el número máximo de bases mutuamente insesgadas cuando d es una potencia entera de un número primo, pero no se conoce para d arbitrario .
Ejemplos de conjuntos de bases mutuamente insesgadas
Ejemplo para d = 2
Las tres bases
proporcione el ejemplo más simple de bases mutuamente insesgadas en C 2 . Las bases anteriores están compuestas por los vectores propios de las matrices de espín de Pauli y su producto , respectivamente.
Ejemplo para d = 4
Para d = 4, un ejemplo de d + 1 = 5 bases mutuamente insesgadas donde cada base se denota por M j , 0 ≤ j ≤ 4, se da de la siguiente manera: [13]
Métodos para encontrar bases mutuamente insesgadas
Método del grupo de Weyl [1]
Dejar y ser dos operadores unitarios en el espacio de Hilbert C d tales que
para algún factor de fase . Sies una raíz primitiva de unidad , por ejemploentonces las bases propias de y son mutuamente imparciales.
Al elegir la base propia de para ser la base estándar , podemos generar otra base insesgada utilizando una matriz de Fourier. Los elementos de la matriz de Fourier están dados por
Otras bases que son insesgadas tanto con respecto a la base estándar como a la base generada por la matriz de Fourier se pueden generar usando grupos de Weyl. [1] La dimensión del espacio de Hilbert es importante cuando se generan conjuntos de bases mutuamente insesgadas utilizando grupos de Weyl. Cuando d es un número primo, entonces las bases habituales d + 1 mutuamente insesgadas se pueden generar usando grupos de Weyl. Cuando d no es un número primo, entonces es posible que el número máximo de bases mutuamente insesgadas que se pueden generar usando este método sea 3.
Método de operadores unitarios utilizando campos finitos
Cuando d = p es primo , definimos los operadores unitarios y por
dónde es la base estándar y es una raíz de unidad .
Entonces las bases propias de los siguientes operadores d + 1 son mutuamente insesgadas: [14]
Para d impar , el t -ésimo vector propio del operadorviene dado explícitamente por [12]
Cuándo es una potencia de un primo, hacemos uso del campo finito para construir un conjunto máximo de d + 1 bases mutuamente insesgadas. Etiquetamos los elementos de la base computacional de C d usando el campo finito:.
Definimos los operadores y de la siguiente manera
dónde
es un carácter aditivo sobre el campo y la suma y multiplicación en las kets y es el de .
Luego formamos d + 1 conjuntos de operadores unitarios de conmutación :
- y para cada
Las bases propias conjuntas de los operadores en un conjunto son mutuamente insesgadas a las de cualquier otro conjunto. [14] Por tanto, tenemos d + 1 bases mutuamente insesgadas.
Método de matriz de Hadamard [1]
Dado que una base en un espacio de Hilbert es la base estándar, entonces todas las bases que son insesgadas con respecto a esta base se pueden representar mediante las columnas de una matriz de Hadamard compleja multiplicada por un factor de normalización. Para d = 3 estas matrices tendrían la forma
El problema de encontrar un conjunto de k +1 bases mutuamente insesgadas, por lo tanto, corresponde a encontrar k matrices de Hadamard complejas mutuamente insesgadas.
Un ejemplo de una familia de un parámetro de matrices de Hadamard en un espacio de Hilbert de 4 dimensiones es
El problema de encontrar un conjunto máximo de MUB cuando d = 6
La dimensión más pequeña que no es una potencia entera de un número primo es d = 6. Esta es también la dimensión más pequeña para la que no se conoce el número de bases mutuamente insesgadas. Los métodos usados para determinar el número de bases mutuamente insesgadas cuando d es una potencia entera de un número primo no pueden usarse en este caso. Las búsquedas de un conjunto de cuatro bases mutuamente insesgadas cuando d = 6, tanto mediante el uso de matrices de Hadamard [1] como de métodos numéricos [15] [16], no han tenido éxito. La creencia general es que el número máximo de bases mutuamente insesgadas para d = 6 es. [1]
Relaciones de incertidumbre entrópica y MUB
Existe una caracterización alternativa de bases mutuamente insesgadas que las considera en términos de relaciones de incertidumbre . [17]
Las relaciones de incertidumbre entrópica son análogas al principio de incertidumbre de Heisenberg , y Maassen y Uffink [18] encontraron que para dos bases cualesquiera y :
dónde y y es la respectiva entropía de las bases y , al medir un estado dado.
Las relaciones de incertidumbre entrópica son a menudo preferibles [19] al principio de incertidumbre de Heisenberg , ya que no se expresan en términos del estado que se va a medir, sino en términos de c .
En escenarios como la distribución de claves cuánticas , apuntamos a bases de medición tales que el conocimiento completo de un estado con respecto a una base implica un conocimiento mínimo del estado con respecto a las otras bases. Esto implica una alta entropía de los resultados de la medición y, por lo tanto, llamamos a estas fuertes relaciones de incertidumbre entrópica.
Para dos bases, el límite inferior de la relación de incertidumbre se maximiza cuando las bases de medición son mutuamente insesgadas, ya que las bases mutuamente insesgadas son máximamente incompatibles : el resultado de una medición realizada en una base insesgada con respecto a aquella en la que se prepara el estado es completamente aleatorio. De hecho, para un espacio d -dimensional, tenemos: [20]
para cualquier par de bases mutuamente insesgadas y . Este límite es óptimo : [21] Si medimos un estado a partir de una de las bases, entonces el resultado tiene una entropía 0 en esa base y una entropía de en el otro.
Si la dimensión del espacio es una potencia primaria, podemos construir d + 1 MUB, y luego se ha encontrado que [22]
que es más fuerte que la relación que obtendríamos al emparejar los conjuntos y luego usar la ecuación de Maassen y Uffink. Por tanto, tenemos una caracterización de d + 1 bases mutuamente insesgadas como aquellas para las que las relaciones de incertidumbre son más fuertes.
Aunque el caso de dos bases y de d + 1 bases está bien estudiado, se sabe muy poco acerca de las relaciones de incertidumbre para bases mutuamente insesgadas en otras circunstancias. [22] [23]
Al considerar más de dos y menos de bases se sabe que existen grandes conjuntos de bases mutuamente insesgadas que presentan muy poca incertidumbre. [24] Esto significa que el mero hecho de ser mutuamente insesgados no conduce a una alta incertidumbre, excepto cuando se consideran mediciones en solo dos bases. Sin embargo, existen otras medidas que son muy inciertas. [22] [25]
Bases mutuamente insesgadas en espacios de Hilbert de dimensión infinita
Si bien se ha investigado sobre bases mutuamente imparciales en el espacio de Hilbert de dimensión infinita, su existencia sigue siendo una cuestión abierta. Se conjetura que en un espacio continuo de Hilbert, dos bases ortonormales y se dice que son mutuamente imparciales si [26]
Para los estados propios generalizados de posición y momento y , el valor de k es
La existencia de bases mutuamente imparciales en un espacio continuo de Hilbert permanece abierta al debate, ya que se requiere más investigación sobre su existencia antes de que se pueda llegar a conclusiones.
Estados de posición y estados de impulso son vectores propios de operadores hermitianos y , respectivamente. Weigert y Wilkinson [26] fueron los primeros en notar que también una combinación lineal de estos operadores tiene bases propias, que tienen algunas características típicas de las bases mutuamente insesgadas. Un operador tiene funciones propias proporcionales a con y los valores propios correspondientes . Si parametrizamos y como y , la superposición entre cualquier estado propio de la combinación lineal y cualquier estado propio del operador de posición (ambos estados normalizados al delta de Dirac) es constante, pero depende de :
dónde y representan funciones propias de y .
Referencias
- ↑ a b c d e f g Bengtsson, Ingemar (2007). "Tres formas de mirar las bases mutuamente imparciales". Actas de la conferencia AIP . 889 . págs. 40–51. arXiv : quant-ph / 0610216 . doi : 10.1063 / 1.2713445 . S2CID 12395501 .
- ^ Schwinger, J. (1960). "Bases de operadores unitarios, Universidad de Harvard" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 46 (4): 570–9. Código Bibliográfico : 1960PNAS ... 46..570S . doi : 10.1073 / pnas.46.4.570 . PMC 222876 . PMID 16590645 .
- ^ Ivanovic, ID (1981). "Descripción geométrica de la determinación del estado cuántico". J. Phys. Una . 14 (12): 3241–3245. Código bibliográfico : 1981JPhA ... 14.3241I . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 14/12/019 .
- ^ a b M. Planat et al, Un estudio de estructuras geométricas algebraicas finitas subyacentes a las medidas cuánticas mutuamente imparciales, http://hal.ccsd.cnrs.fr/docs/00/07/99/18/PDF/MUB_FP.pdf .
- ^ Wootters, WK; Fields, BD (1989). "Determinación de estado óptimo mediante mediciones mutuamente imparciales". Ana. Phys . 191 (2): 363–381. Código Bibliográfico : 1989AnPhy.191..363W . doi : 10.1016 / 0003-4916 (89) 90322-9 . hdl : 10338.dmlcz / 141471 .
- ^ Gottesman, D. (1996). "Clase de códigos cuánticos de corrección de errores que saturan el límite cuántico de Hamming". Phys. Rev. A . 54 (3): 1862–1868. arXiv : quant-ph / 9604038 . Código Bibliográfico : 1996PhRvA..54.1862G . doi : 10.1103 / physreva.54.1862 . PMID 9913672 .
- ^ Calderbank, AR; et al. (1997). "Corrección de errores cuánticos y geometría ortogonal". Phys. Rev. Lett . 78 (3): 405–408. arXiv : quant-ph / 9605005 . Código Bibliográfico : 1997PhRvL..78..405C . doi : 10.1103 / physrevlett.78.405 .
- ^ Huang, Yichen (29 de julio de 2010). "Criterios de entrelazamiento mediante relaciones de incertidumbre de función cóncava". Physical Review A . 82 (1): 012335. Código Bibliográfico : 2010PhRvA..82a2335H . doi : 10.1103 / PhysRevA.82.012335 .
- ^ Spengler, C .; Huber, M .; Brierley, S .; Adaktylos, T .; Hiesmayr, BC (2012). "Detección de enredos mediante bases mutuamente insesgadas". Phys. Rev. A . 86 (2): 022311. arXiv : 1202.5058 . Código bibliográfico : 2012PhRvA..86b2311S . doi : 10.1103 / physreva.86.022311 .
- ^ Vaidman, L .; et al. (1987). "Cómo determinar los valores de y de una partícula spin-1/2 ". Phys. Rev. Lett . 58 (14): 1385-1387. Bibcode : 1987PhRvL..58.1385V . doi : 10.1103 / PhysRevLett.58.1385 . PMID 10034422 .
- ^ Englert, B.-G .; Aharonov, Y. (2001). "El problema del rey malo: primeros grados de libertad". Phys. Letón. Una . 284 (1): 1–5. arXiv : quant-ph / 0101134 . Código Bibliográfico : 2001PhLA..284 .... 1E . doi : 10.1016 / s0375-9601 (01) 00271-7 .
- ^ a b Durt, T .; Englert, B.-G .; Bengtsson, I .; Życzkowski, K. (2010). "Sobre bases mutuamente imparciales". Revista Internacional de Información Cuántica . 8 (4): 535–640. arXiv : 1004,3348 . doi : 10.1142 / s0219749910006502 .
- ^ Klappenecker, Andreas; Roetteler, Martin (2003). "Construcciones de bases mutuamente imparciales". arXiv : quant-ph / 0309120 . Código bibliográfico : 2003quant.ph..9120K . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ a b Bandyopadhyay, Somshubhro; Oscar Boykin, P .; Roychowdhury, Vwani; Vatan, Farrokh (2002). "Una nueva prueba de la existencia de bases mutuamente imparciales". Algoritmica . 32 (4): 512–528. arXiv : quant-ph / 0103162 . Código bibliográfico : 2001quant.ph..3162B . doi : 10.1007 / s00453-002-0980-7 .
- ^ P. Butterley, W. Hall "Evidencia numérica para el número máximo de bases mutuamente insesgadas en la dimensión seis, 2007, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0701122 .
- ^ Brierley, S .; Weigert, S. (2008). "Conjuntos máximos de estados cuánticos mutuamente insesgados en dimensión seis". Phys. Rev. A . 78 (4): 042312. arXiv : 0808.1614 . Código Bibliográfico : 2008PhRvA..78d2312B . doi : 10.1103 / physreva.78.042312 .
- ^ Hirschman, II; Jr (1957). "Una nota sobre la entropía". Revista Estadounidense de Matemáticas . 1957 (1): 152-156. doi : 10.2307 / 2372390 . JSTOR 2372390 .
- ^ H. Maassen, JBM Uffink: Relaciones de incertidumbre entrópica generalizada: Phys. Rev. Lett. 60, 1103-1106 (1988).
- ^ Damgaard, Ivan B .; Fehr, Serge; Renner, Renato; Salvail, Louis; Schaffner, Christian (2006). "Una estrecha relación de incertidumbre cuántica entrópica de alto orden con las aplicaciones". arXiv : quant-ph / 0612014 . Código bibliográfico : 2006quant.ph.12014D . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Deutsch, D. (1982). "Incertidumbre en las medidas cuánticas". Cartas de revisión física . 50 (9): 631–633. Código Bibliográfico : 1983PhRvL..50..631D . doi : 10.1103 / physrevlett.50.631 .
- ^ Ambainis, Andris (2009). "Límites en las relaciones de incertidumbre entrópica para 3 y más MUB". arXiv : 0909.3720 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ a b c S. Wehner y A. Winter, 2010 Nuevo J. Phys. 12 025009: http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/2/025009/ .
- ^ Wu, S .; Yu, S .; Mølmer, K. (2009). "Relación de incertidumbre entrópica para bases mutuamente insesgadas". Phys. Rev. A . 79 (2): 022104. arXiv : 0811.2298 . Código Bibliográfico : 2009PhRvA..79b2104W . doi : 10.1103 / physreva.79.022104 .
- ^ Ballester, M .; S. Wehner (2007). "Relaciones de incertidumbre entrópica y bloqueo: límites estrechos para bases mutuamente imparciales" (PDF) . Physical Review A . 75 (1): 022319. arXiv : quant-ph / 0606244 . Código bibliográfico : 2007PhRvA..75a2319C . doi : 10.1103 / PhysRevA.75.012319 . S2CID 41654752 .
- ^ Wehner, S .; A. Invierno (2008). "Relaciones de incertidumbre entrópica más altas para observables anti-conmutación". Revista de Física Matemática . 49 (6): 062105. arXiv : 0710.1185 . Código bibliográfico : 2008JMP .... 49f2105W . doi : 10.1063 / 1.2943685 . S2CID 118268095 .
- ^ a b Weigert, Stefan; Wilkinson, Michael (2008). "Bases mutuamente insesgadas para variables continuas". Physical Review A . 78 (2): 020303. arXiv : 0802.0394 . Código Bibliográfico : 2008PhRvA..78b0303W . doi : 10.1103 / PhysRevA.78.020303 . S2CID 67784632 .