Tomografía cuántica

Reconstrucción de estados cuánticos basada en mediciones

La tomografía cuántica o tomografía de estado cuántico es el proceso mediante el cual se reconstruye un estado cuántico utilizando medidas en un conjunto de estados cuánticos idénticos. ^[1] La fuente de estos estados puede ser cualquier dispositivo o sistema que prepare estados cuánticos consistentemente en estados cuánticos puros o de otra manera en estados mixtos generales . Para poder identificar de forma única el estado, las mediciones deben ser tomográficamente completas . Es decir, los operadores medidos deben formar una base de operador en el espacio de Hilbertdel sistema, proporcionando toda la información sobre el estado. Este conjunto de observaciones a veces se denomina quórum .

Figura 1: Un oscilador armónico representado en el espacio de fase por su momento y posición

Figura 2: Muchos osciladores idénticos representados en el espacio de fase por su momento y posición

En la tomografía de proceso cuántico, por otro lado, los estados cuánticos conocidos se utilizan para probar un proceso cuántico para descubrir cómo se puede describir el proceso. De manera similar, la tomografía de medición cuántica funciona para averiguar qué medición se está realizando. Considerando que, la evaluación comparativa aleatoria de forma escalable obtiene una cifra de mérito de la superposición entre el proceso cuántico físico propenso a errores y su contraparte ideal.

El principio general detrás de la tomografía de estado cuántico es que al realizar repetidamente muchas mediciones diferentes en sistemas cuánticos descritos por matrices de densidad idénticas, los recuentos de frecuencia se pueden usar para inferir probabilidades , y estas probabilidades se combinan con la regla de Born para determinar una matriz de densidad que se ajuste mejor. con las observaciones.

Esto se puede entender fácilmente haciendo una analogía clásica. Considere un oscilador armónico (por ejemplo, un péndulo). La posición y el momento del oscilador en cualquier punto dado se pueden medir y, por lo tanto, el movimiento puede describirse completamente mediante el espacio de fase . Esto se muestra en la figura 1. Al realizar esta medición para un gran número de osciladores idénticos, obtenemos una distribución de posibilidades en el espacio de fase (figura 2). Esta distribución se puede normalizar (el oscilador en un momento dado tiene que estar en algún lugar) y la distribución debe ser no negativa. Así que hemos recuperado una función W (x, p) que da una descripción de la posibilidad de encontrar la partícula en un punto dado con un momento dado.

Para las partículas de la mecánica cuántica se puede hacer lo mismo. La única diferencia es que no se debe violar el principio de incertidumbre de Heisenberg , lo que significa que no podemos medir el momento y la posición de la partícula al mismo tiempo. El momento y la posición de la partícula se denominan cuadraturas (consulte Espacio de fase óptica para obtener más información) en estados cuánticos relacionados. Al medir una de las cuadraturas de un gran número de estados cuánticos idénticos, obtendremos una densidad de probabilidad correspondiente a esa cuadratura en particular. Esto se llama distribución marginal., pr (X) o pr (P) (ver figura 3). En el siguiente texto veremos que esta densidad de probabilidad es necesaria para caracterizar el estado cuántico de la partícula, que es el objetivo de la tomografía cuántica.

Figura 3: Distribución marginal

Para qué se utiliza la tomografía de estado cuántico

La tomografía cuántica se aplica a una fuente de sistemas para determinar el estado cuántico de la salida de esa fuente. A diferencia de una medición en un solo sistema, que determina el estado actual del sistema después de la medición (en general, el acto de realizar una medición altera el estado cuántico), la tomografía cuántica funciona para determinar los estados antes de las mediciones.

La tomografía cuántica se puede utilizar para caracterizar señales ópticas, incluida la medición de la ganancia y pérdida de señal de dispositivos ópticos, ^[2] así como en la computación cuántica y la teoría de la información cuántica para determinar de manera confiable los estados reales de los qubits . ^{[3] [4]} Uno puede imaginar una situación en la que una persona Bob prepara algunos estados cuánticos y luego le da los estados a Alice para que los observe. Al no estar segura de la descripción que hace Bob de los estados, es posible que Alice desee hacer una tomografía cuántica para clasificar los estados ella misma.

Métodos de tomografía de estado cuántico

Inversión lineal

Usando la regla de Born , se puede derivar la forma más simple de tomografía cuántica. Generalmente, no se conoce el estado puro y el estado puede estar mezclado. En este caso, deberán realizarse muchas mediciones diferentes, muchas veces cada una. Para reconstruir completamente la matriz de densidad para un estado mixto en un espacio de Hilbert de dimensión finita , se puede utilizar la siguiente técnica.

La regla de Born establece dónde es un proyector de resultados de medición particular y es la matriz de densidad del sistema. Dado un histograma de observaciones para cada medición, se tiene una aproximación de para cada una .${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )=\mathrm {Trace} (E_{i}\rho )}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )}$${\displaystyle E_{i}}$

Dados los operadores lineales y , defina el producto interno${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle S\cdot T=\mathrm {Tr} [S^{\dagger }T]={\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$

donde es la representación del operador como un vector de columna y un vector de fila tal que es el producto interno de los dos.${\displaystyle {\vec {T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Defina la matriz como${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}}$.

Aquí E _i es una lista fija de medidas individuales (con resultados binarios), y A hace todas las medidas a la vez.

Luego, aplicar esto a produce las probabilidades :${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{2}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{3}|\rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}}$.

La inversión lineal corresponde a invertir este sistema usando las frecuencias relativas observadas para derivar (que es isomorfo a ).${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle {\vec {\rho }}}$${\displaystyle \displaystyle \rho }$

Este sistema no va a ser cuadrado en general, ya que para cada medición que se realice, generalmente habrá múltiples proyectores de resultados de medición . Por ejemplo, en un espacio Hilbert 2-D con 3 mediciones , cada medición tiene 2 resultados, cada uno de los cuales tiene un proyector E _i , para 6 proyectores, mientras que la dimensión real del espacio de matrices de densidad es (2⋅2 ² ) / 2 = 4, dejando 6 x 4. Para resolver el sistema, multiplique a la izquierda por :${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{T}}$

${\displaystyle A^{T}A{\vec {\rho }}=A^{T}{\vec {p}}}$.

Ahora, resolviendo para obtener el pseudoinverso :${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {\rho }}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}{\vec {p}}}$.

Esto funciona en general solo si la lista de medidas E _i está completa tomográficamente. De lo contrario, la matriz no será invertible .${\displaystyle A^{T}A}$

Variables continuas y tomografía cuántica homodina

En espacios de Hilbert de dimensión infinita , por ejemplo, en medidas de variables continuas como la posición, la metodología es algo más compleja. Un ejemplo notable es la tomografía de luz , conocida como tomografía óptica homodina . Usando medidas homodinas balanceadas , se puede derivar la función de Wigner y una matriz de densidad para el estado de la luz .

Un enfoque implica mediciones a lo largo de diferentes direcciones rotadas en el espacio de fase . Para cada dirección , se puede encontrar una distribución de probabilidad para la densidad de probabilidad de las mediciones en la dirección del espacio de fase que produce el valor . Usando una inversa transformación Radon (la proyección hacia atrás filtrada) en conduce a la función de Wigner , , ^[5] que puede ser convertido por una transformada de Fourier inversa en la matriz de densidad para el estado en cualquier base. ^[4] Una técnica similar se usa a menudo en tomografía médica .${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle w(q,\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle q}$${\displaystyle w(q,\theta )}$${\displaystyle \mathrm {W} (x,p)}$

Ejemplo de tomografía homodina.

Las amplitudes o cuadraturas de campo con altas eficiencias se pueden medir con fotodetectores junto con selectividad de modo temporal. La tomografía homodina equilibrada es una técnica confiable para reconstruir estados cuánticos en el dominio óptico. Esta técnica combina las ventajas de las altas eficiencias de los fotodiodos para medir la intensidad o el número de fotones de la luz, junto con la medición de las características cuánticas de la luz mediante una configuración inteligente llamada detector de tomografía homodina . Esto se explica con el siguiente ejemplo. Se dirige un láser sobre un divisor de haz al 50-50% , dividiendo el haz láser en dos haces. Uno se utiliza como oscilador local.(LO) y el otro se utiliza para generar fotones con un estado cuántico particular . La generación de estados cuánticos puede realizarse, por ejemplo, dirigiendo el rayo láser a través de un cristal de duplicación de frecuencia ^[6] y luego sobre un cristal de conversión descendente paramétrico . Este cristal genera dos fotones en un determinado estado cuántico. Uno de los fotones se utiliza como señal de activación para activar (iniciar) el evento de lectura del detector de tomografía homodina. El otro fotón se dirige al detector de tomografía homodina para reconstruir su estado cuántico. Dado que los fotones disparadores y de señal están entrelazados (esto se explica por la conversión descendente paramétrica espontánea artículo), es importante darse cuenta de que el modo óptico del estado de la señal se crea no local solo cuando el fotón disparador incide en el fotodetector (del módulo de lectura del evento disparador) y se mide realmente. Dicho de manera más simple, es solo cuando se mide el fotón disparador, que el fotón de señal puede ser medido por el detector homodino.

Ahora considere el detector de tomografía homodino como se muestra en la figura 4 (falta la figura). El fotón de señal (este es el estado cuántico que queremos reconstruir) interfiere con el oscilador local , cuando se dirigen a un divisor de haz del 50-50% . Dado que los dos rayos se originan en el mismo llamado láser maestro , tienen la misma fase fijarelación. El oscilador local debe ser intenso, en comparación con la señal, para que proporcione una referencia de fase precisa. El oscilador local es tan intenso que podemos tratarlo clásicamente (a = α) y despreciar las fluctuaciones cuánticas. El campo de señal está controlado espacial y temporalmente por el oscilador local, que tiene una forma controlada. Cuando el oscilador local es cero, la señal se rechaza. Por lo tanto, tenemos una selectividad de modo temporal-espacial de la señal. El divisor de haz redirige los dos haces a dos fotodetectores. Los fotodetectores generan una corriente eléctrica proporcional al número de fotones . Se restan las dos corrientes del detector y la corriente resultante es proporcional al operador del campo eléctrico en el modo de señal, dependía de la fase óptica relativa de la señal y del oscilador local.

Dado que la amplitud del campo eléctrico del oscilador local es mucho mayor que la de la señal, se pueden ver la intensidad o las fluctuaciones en el campo de la señal. El sistema de tomografía homodina funciona como amplificador . El sistema puede verse como un interferómetro con un haz de referencia de tan alta intensidad (el oscilador local) que se puede medir el desequilibrio de la interferencia por un solo fotón en la señal. Esta amplificación está muy por encima del piso de ruido de los fotodetectores .

La medición se reproduce un gran número de veces. Luego, la diferencia de fase entre la señal y el oscilador local se cambia para "escanear" un ángulo diferente en el espacio de fase . Esto se puede ver en la figura 4. La medición se repite de nuevo un gran número de veces y se recupera una distribución marginal de la diferencia actual. La distribución marginal se puede transformar en la matriz de densidad y / o la función de Wigner . Dado que la matriz de densidad y la función de Wigner dan información sobre el estado cuántico del fotón, hemos reconstruido el estado cuántico del fotón.

La ventaja de este método es que esta disposición es insensible a las fluctuaciones en la frecuencia del láser .

Los cálculos cuánticos para recuperar el componente de cuadratura de la diferencia de corriente se realizan como sigue.

El operador del número de fotones para los haces que golpean los fotodetectores después del divisor de haz viene dado por:

${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$,

donde i es 1 y 2, respectivamente para la viga uno y dos. Los operadores de modo del campo que emergen de los divisores de haz están dados por:

${\displaystyle {\hat {a}}_{1}=2^{-1/2}({\hat {a}}-\alpha _{LO})}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{2}=2^{-1/2}({\hat {a}}+\alpha _{LO})}$

El denota el operador de aniquilación de la señal y alfa la amplitud compleja del oscilador local. El número de diferencia de fotones es eventualmente proporcional a la cuadratura y está dado por:${\displaystyle {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}={\hat {n}}_{2}-{\hat {n}}_{1}=\alpha _{LO}^{*}{\hat {a}}+\alpha _{LO}{\hat {a}}^{\dagger }}$,

Reescribiendo esto con la relación:

${\displaystyle {\hat {q}}=2^{-1/2}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})}$

Resultados en la siguiente relación:

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}=2^{1/2}|{\hat {\alpha }}_{LO}|{\hat {q}}_{\theta }}$,

donde vemos una relación clara entre la diferencia del número de fotones y el componente de cuadratura . Al realizar un seguimiento de la suma actual, se puede recuperar información sobre la intensidad del oscilador local, ya que esta es generalmente una cantidad desconocida, pero una cantidad importante para calcular el componente de cuadratura .${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$

Problemas con la inversión lineal

Uno de los principales problemas con el uso de la inversión lineal para resolver la matriz de densidad es que, en general, la solución calculada no será una matriz de densidad válida. Por ejemplo, podría dar probabilidades negativas o probabilidades mayores que 1 para ciertos resultados de medición. Esto es particularmente un problema cuando se realizan menos mediciones.

Otro problema es que en espacios de Hilbert de dimensión infinita , se requeriría un número infinito de resultados de medición. Hacer suposiciones sobre la estructura y usar una base de medición finita conduce a artefactos en la densidad del espacio de fase. ^[4]

Estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud (también conocida como MLE o MaxLik) es una técnica popular para tratar los problemas de inversión lineal. Al restringir el dominio de las matrices de densidad al espacio adecuado y al buscar la matriz de densidad que maximiza la probabilidad de dar los resultados experimentales, se garantiza que el estado sea teóricamente válido al tiempo que se ajusta a los datos. La probabilidad de un estado es la probabilidad que se asignaría a los resultados observados si el sistema hubiera estado en ese estado.

Suponga que las medidas se han observado con frecuencias . Entonces la probabilidad asociada con un estado es${\displaystyle \{|y_{j}\rangle \langle y_{j}|\}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

${\displaystyle L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle ^{f_{j}}}$

donde es la probabilidad de resultado para el estado .${\displaystyle \langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle }$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Encontrar el máximo de esta función no es trivial y generalmente implica métodos iterativos. ^{[7] [8]} Los métodos son un tema activo de investigación.

Problemas con la estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud adolece de algunos problemas menos obvios que la inversión lineal. Un problema es que hace predicciones sobre probabilidades que los datos no pueden justificar. Esto se ve más fácilmente al observar el problema de los valores propios cero . La solución calculada que utiliza MLE a menudo contiene valores propios que son 0, es decir, tiene un rango deficiente . En estos casos, la solución se encuentra en el límite de la esfera de Bloch n-dimensional . Esto puede verse como relacionado con la inversión lineal que da estados que se encuentran fuera del espacio válido (la esfera de Bloch). En estos casos, MLE elige un punto cercano que es válido y los puntos más cercanos generalmente están en el límite. ^[3]

Esto no es un problema físico, el estado real puede tener valores propios cero . Sin embargo, dado que ningún valor puede ser menor que 0, una estimación de un valor propio que sea 0 implica que el estimador está seguro de que el valor es 0; de lo contrario, habrían estimado algo mayor que 0 con un pequeño grado de incertidumbre como la mejor estimación. Aquí es donde surge el problema, ya que no es lógico concluir con certeza absoluta después de un número finito de mediciones que cualquier valor propio (es decir, la probabilidad de un resultado particular) es 0. Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire 5 veces y cada vez que se observó cara, no significa que haya 0 probabilidades de obtener cruz, a pesar de que esa es la descripción más probable de la moneda. ^[3]${\displaystyle \epsilon }$

Métodos bayesianos

La estimación media bayesiana (BME) es un enfoque relativamente nuevo que aborda los problemas de la estimación de máxima verosimilitud . Se centra en encontrar soluciones óptimas que también sean honestas en el sentido de que incluyen barras de error en la estimación. La idea general es comenzar con una función de verosimilitud y una función que describa el conocimiento previo del experimentador (que podría ser una función constante), luego integrar todas las matrices de densidad utilizando el producto de la función de verosimilitud y la función de conocimiento previo como ponderación.

Dada una función de conocimiento previo razonable, BME producirá un estado estrictamente dentro de la esfera de bloch n-dimensional . En el caso de una moneda lanzada N veces para obtener N caras descritas anteriormente, con una función de conocimiento previo constante, BME lo asignaría como probabilidad de cruz. ^[3]${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{N+2}}}$

BME proporciona un alto grado de precisión porque minimiza las divergencias operativas de la estimación con respecto al estado real. ^[3]

Métodos para datos incompletos

El número de mediciones necesarias para una tomografía de estado cuántico completo para un sistema de múltiples partículas aumenta exponencialmente con el número de partículas, lo que hace que tal procedimiento sea imposible incluso para tamaños de sistema modestos. Por lo tanto, se han desarrollado varios métodos para realizar tomografía cuántica con menos mediciones.

El concepto de compleción de matriz y detección comprimida se ha aplicado para reconstruir matrices de densidad a partir de un conjunto incompleto de medidas (es decir, un conjunto de medidas que no es un quórum). En general, esto es imposible, pero bajo supuestos (por ejemplo, si la matriz de densidad es un estado puro, o una combinación de solo unos pocos estados puros) entonces la matriz de densidad tiene menos grados de libertad, y puede ser posible reconstruir el estado de las mediciones incompletas. ^[9]

La tomografía cuántica permutacionalmente invariante ^[10] es un procedimiento que se ha desarrollado principalmente para estados que están cerca de ser permutacionalmente simétricos, lo que es típico en los experimentos actuales. Para partículas de dos estados, el número de mediciones necesarias se escala solo cuadráticamente con el número de partículas.^[11] Además del modesto esfuerzo de medición, el procesamiento de los datos medidos también se puede realizar de manera eficiente: Es posible llevar a cabo el ajuste de una matriz de densidad física en los datos medidos incluso para sistemas grandes.^[12] La tomografía cuántica permutacionalmente invariante se ha combinado con detección comprimida en un experimento fotónico de seis qubits. ^[13]

Tomografía de medición cuántica

Uno puede imaginar una situación en la que un aparato realiza alguna medición en sistemas cuánticos y determina qué medición particular se desea. La estrategia es enviar sistemas de varios estados conocidos y usar estos estados para estimar los resultados de la medición desconocida. También conocidas como "estimación cuántica", las técnicas de tomografía son cada vez más importantes, incluidas las de la tomografía de medición cuántica y la tomografía de estado cuántico muy similar. Puesto que una medición siempre se puede caracterizar por un conjunto de POVM 's, el objetivo es reconstruir los caracterizadora POVM ' s . El enfoque más simple es la inversión lineal. Como en la observación de estado cuántico, utilice${\displaystyle \Pi _{l}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} [\Pi _{l}\rho _{m}]=\mathrm {P} (l|\rho _{m})}$.

Aprovechando la linealidad como se indicó anteriormente, esto se puede invertir para resolver el .${\displaystyle \Pi _{l}}$

No es sorprendente que esto adolezca de los mismos escollos que en la tomografía de estado cuántico: es decir, resultados no físicos, en particular probabilidades negativas. Aquí los POVM no serán válidos , ya que no serán positivos. Los métodos bayesianos y la estimación de máxima verosimilitud de la matriz de densidad se pueden utilizar para restringir los operadores a resultados físicos válidos. ^[14]${\displaystyle \Pi _{l}}$

Tomografía de proceso cuántico

La tomografía de proceso cuántico (QPT) se ocupa de identificar un proceso dinámico cuántico desconocido. El primer enfoque, introducido en 1996 y a veces conocido como tomografía de proceso cuántico estándar (SQPT) implica preparar un conjunto de estados cuánticos y enviarlos a través del proceso, luego usar la tomografía de estado cuántico para identificar los estados resultantes. ^[15] Otras técnicas incluyen la tomografía de proceso asistida por ancilla (AAPT) y la tomografía de proceso asistida por entrelazamiento (EAPT) que requieren una copia adicional del sistema. ^[dieciséis]

Cada una de las técnicas enumeradas anteriormente se conocen como métodos indirectos para la caracterización de la dinámica cuántica, ya que requieren el uso de tomografía de estado cuántico para reconstruir el proceso. Por el contrario, existen métodos directos como la caracterización directa de la dinámica cuántica (DCQD) que proporcionan una caracterización completa de los sistemas cuánticos sin ninguna tomografía de estado. ^[17]

El número de configuraciones experimentales (preparaciones de estado y medidas) necesarias para la tomografía de proceso cuántico completo crece exponencialmente con el número de partículas constituyentes de un sistema. En consecuencia, en general, QPT es una tarea imposible para los sistemas cuánticos a gran escala. Sin embargo, bajo el supuesto de una decoherencia débil, un mapa dinámico cuántico puede encontrar una representación escasa. El método de tomografía de proceso cuántico comprimido (CQPT) utiliza la técnica de detección comprimida y aplica la suposición de escasez para reconstruir un mapa dinámico cuántico a partir de un conjunto incompleto de medidas o preparaciones de estado de prueba. ^[18]

Mapas dinámicos cuánticos

Un proceso cuántico, también conocido como mapa dinámico cuántico , puede describirse mediante un mapa completamente positivo${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}$,

donde , los operadores acotados en el espacio de Hilbert ; con elementos de operación satisfactorios para que .${\displaystyle \rho \in {\mathcal {B(H)}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i}A_{i}^{\dagger }A_{i}\leq I}$${\displaystyle \mathrm {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$

Sea una base ortogonal para . Escriba los operadores en esta base${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B(H)}}}$${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=\sum _{m}a_{im}E_{m}}$.

Esto lleva a

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{m,n}\chi _{mn}E_{m}\rho E_{n}^{\dagger }}$,

donde .${\displaystyle \chi _{mn}=\sum _{i}a_{mi}a_{ni}^{*}}$

El objetivo es entonces resolver , que es un superoperador positivo y se caracteriza por completo con respecto a la base. ^{[16] [17]}${\displaystyle \displaystyle \chi }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$

Tomografía de proceso cuántico estándar

SQPT se acerca a esto utilizando entradas linealmente independientes , donde es la dimensión del espacio de Hilbert . Para cada uno de estos estados de entrada , enviarlo a través del proceso da un estado de salida que se puede escribir como una combinación lineal de , es decir . Al enviar cada uno a través de muchas veces, la tomografía de estado cuántico se puede utilizar para determinar los coeficientes de forma experimental.${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}}$${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle c_{jk}}$

Escribir

${\displaystyle E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$,

donde es una matriz de coeficientes. Entonces${\displaystyle B}$

${\displaystyle \sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$.

Dado que forman una base linealmente independiente, ${\displaystyle \rho _{k}}$

${\displaystyle \displaystyle c_{jk}=\sum _{m,n}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}}$.

La inversión da :${\displaystyle B}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi _{m,n}=\sum _{j,k}B_{m,n,j,k}^{-1}c_{jk}}$.

Referencias

1. Tomografía de estado cuántico. "UIUC" .
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