En geometría algebraica , el modelo de Néron (o modelo mínimo de Néron , o modelo mínimo ) para una variedad abeliana A K definida sobre el campo de fracciones K de un dominio de Dedekind R es el "avance" de A K de Spec ( K ) a Spec ( R ), en otras palabras el "mejor posible" esquema de grupo a R definida sobre R correspondiente a a K .
Fueron introducidos por André Néron ( 1961 , 1964 ) para variedades abelianas sobre el campo cociente de un dominio de Dedekind R con campos de residuos perfectos, y Raynaud (1966) extendió esta construcción a variedades semiabelianas en todos los dominios de Dedekind.
Definición
Suponga que R es un dominio de Dedekind con un campo de fracciones K , y suponga que A K es un esquema separado uniforme sobre K (como una variedad abeliana). Entonces, un modelo de Néron de A K se define como un esquema separado suave A R sobre R con fibra A K que es universal en el siguiente sentido.
- Si X es un esquema separado suave sobre R, entonces cualquier K -morfismo de X K a A K puede extenderse a un R -morfismo único de X a A R (propiedad de mapeo de Néron) .
En particular, el mapa canónico es un isomorfismo. Si existe un modelo de Néron, entonces es único hasta un isomorfismo único.
En términos de poleas, cualquier esquema A sobre Spec ( K ) representa una gavilla en la categoría de esquemas suave sobre Spec ( K ) con la topología suave de Grothendieck, y esto tiene un avance por el mapa de inyección de Spec ( K ) a Spec ( R ), que es una gavilla sobre Spec ( R ). Si esto pushforward es representable mediante un esquema, a continuación, este esquema es el modelo de Néron A .
En general, el esquema A K no necesita tener ningún modelo de Néron. Para las variedades abelianas A K existen modelos Neron y son únicos (hasta el isomorfismo único) y son cuasi-proyectiva conmutativos esquemas de grupo más de R . La fibra de un modelo de Néron sobre un punto cerrado de Spec ( R ) es un grupo algebraico conmutativo suave , pero no necesita ser una variedad abeliana: por ejemplo, puede estar desconectada o ser un toro. Los modelos de Néron también existen para ciertos grupos conmutativos distintos de las variedades abelianas como los tori, pero estos son solo localmente de tipo finito. Los modelos Néron no existen para el grupo de aditivos.
Propiedades
- La formación de modelos Néron conmuta con productos.
- La formación de modelos Néron conmuta con el cambio de base étale.
- Un esquema abeliano A R es el modelo Néron de su fibra genérica.
El modelo de Néron de una curva elíptica
El modelo de Néron de una curva elíptica A K sobre K se puede construir de la siguiente manera. Primero forme el modelo mínimo sobre R en el sentido de superficies algebraicas (o aritméticas). Esta es una superficie adecuada regular sobre R pero no es en general suavizar R o un esquema de grupo sobre R . Su subesquema de puntos lisos sobre R es el modelo Néron, que es un esquema de grupo suave sobre R pero no necesariamente adecuado sobre R . Las fibras en general pueden tener varios componentes irreducibles, y para formar el modelo de Néron se descartan todos los componentes múltiples, todos los puntos donde dos componentes se cruzan y todos los puntos singulares de los componentes.
El algoritmo de Tate calcula la fibra especial del modelo Néron de una curva elíptica, o más precisamente las fibras de la superficie mínima que contiene el modelo Néron.
Referencias
- Artin, Michael (1986), "Néron models", en Cornell, G .; Silverman, Joseph H. (eds.), Geometría aritmética (Storrs, Conn., 1984) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 213-230, MR 0861977
- Bosch, Siegfried; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel (1990), modelos Néron , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 21 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-51438-8 , ISBN 978-3-540-50587-7, MR 1045822
- IV Dolgachev (2001) [1994], "Modelo de Néron" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Néron, André (1961), Modèles p-minimaux des variétés abéliennes. , Séminaire Bourbaki, 7 , MR 1611194 , Zbl 0132.41402
- Néron, André (1964), "Modèles minimaux des variétes abèliennes sur les corps locaux et globaux" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 21 : 5–128, doi : 10.1007 / BF02684271 , MR 0179172
- Raynaud, Michel (1966), "Modèles de Néron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB , 262 : A345 – A347, MR 0194421
- W. Stein, ¿Qué son los modelos Néron? (2003)