Simulación de N -body

En física y astronomía , una simulación de N cuerpos es una simulación de un sistema dinámico de partículas, generalmente bajo la influencia de fuerzas físicas, como la gravedad (ver problema de n cuerpos ). Las simulaciones de cuerpos N son herramientas ampliamente utilizadas en astrofísica , desde la investigación de la dinámica de sistemas de pocos cuerpos como el sistema Tierra - Luna - Sol hasta comprender la evolución de la estructura a gran escala del universo . ^[1] En cosmología física , NLas simulaciones de cuerpos se utilizan para estudiar procesos de formación de estructuras no lineales , como filamentos de galaxias y halos de galaxias a partir de la influencia de la materia oscura . Las simulaciones directas de cuerpos N se utilizan para estudiar la evolución dinámica de los cúmulos de estrellas .

Una simulación de N cuerpos de la formación cosmológica de un cúmulo de galaxias en un universo en expansión.

Naturaleza de las partículas

Las 'partículas' tratadas por la simulación pueden corresponder o no a objetos físicos que son de naturaleza particulada. Por ejemplo, una simulación de N cuerpos de un cúmulo de estrellas podría tener una partícula por estrella, por lo que cada partícula tiene algún significado físico. Por otro lado, una simulación de una nube de gas no puede permitirse tener una partícula para cada átomo o molécula de gas, ya que esto requeriría del orden de10 ²³ partículas por cada mol de material (ver constante de Avogadro ), por lo que una sola 'partícula' representaría una cantidad mucho mayor de gas (a menudo implementada utilizando la hidrodinámica de partículas suavizadas ). Esta cantidad no necesita tener ningún significado físico, pero debe elegirse como un compromiso entre precisión y requisitos de computadora manejables.

Simulaciones de cuerpos N gravitacionales directos

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Reproducir medios

Simulación de N-cuerpos de 400 objetos con parámetros cercanos a los de los planetas del Sistema Solar .

En simulaciones directas de N cuerpos gravitacionales , las ecuaciones de movimiento de un sistema de N partículas bajo la influencia de sus fuerzas gravitacionales mutuas se integran numéricamente sin ninguna aproximación simplificadora. Estos cálculos se utilizan en situaciones en las que las interacciones entre objetos individuales, como estrellas o planetas, son importantes para la evolución del sistema.

Las primeras simulaciones directas de cuerpos N fueron realizadas por Erik Holmberg en el Observatorio de Lund en 1941, determinando las fuerzas entre las estrellas al encontrar galaxias a través de la equivalencia matemática entre la propagación de la luz y la interacción gravitacional: colocando bombillas en las posiciones de las estrellas y midiendo los flujos de luz direccional en las posiciones de las estrellas por una fotocélula, las ecuaciones de movimiento se pueden integrar con ${\ Displaystyle O (N)}$ esfuerzo. ^[2] Las primeras simulaciones puramente de cálculo fueron realizadas por Sebastian von Hoerner en el Astronomisches Rechen-Institut en Heidelberg , Alemania. Sverre Aarseth de la Universidad de Cambridge (Reino Unido) ha dedicado toda su vida científica al desarrollo de una serie de códigos de cuerpos N altamente eficientes para aplicaciones astrofísicas que utilizan pasos de tiempo adaptativos (jerárquicos), un esquema vecino de Ahmad-Cohen y la regularización de encuentros cercanos. La regularización es un truco matemático para eliminar la singularidad en la ley de gravitación de Newton para dos partículas que se acercan entre sí de manera arbitraria. Los códigos de Sverre Aarseth se utilizan para estudiar la dinámica de cúmulos de estrellas, sistemas planetarios y núcleos galácticos. ^{[ cita requerida ]}

Simulaciones de relatividad general

Muchas simulaciones son lo suficientemente grandes como para que los efectos de la relatividad general en el establecimiento de una cosmología de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker sean significativos. Esto se incorpora en la simulación como una medida evolutiva de la distancia (o factor de escala ) en un sistema de coordenadas comovivas , lo que hace que las partículas disminuyan la velocidad de las coordenadas comovidas (así como debido al desplazamiento al rojo de su energía física). Sin embargo, las contribuciones de la relatividad general y la velocidad finita de la gravedad pueden ignorarse, ya que las escalas de tiempo dinámicas típicas son largas en comparación con el tiempo de cruce de la luz para la simulación, y la curvatura espacio-temporal inducida por las partículas y las velocidades de las partículas son pequeñas. . Las condiciones de frontera de estas simulaciones cosmológicas suelen ser periódicas (o toroidales), de modo que un borde del volumen de simulación coincide con el borde opuesto.

Optimizaciones de cálculo

Las simulaciones de N cuerpos son simples en principio, porque implican simplemente integrar las 6 N ecuaciones diferenciales ordinarias que definen los movimientos de las partículas en la gravedad newtoniana . En la práctica, el número N de partículas involucradas suele ser muy grande (las simulaciones típicas incluyen muchos millones, la simulación del Milenio incluyó diez mil millones) y el número de interacciones partícula-partícula que necesitan ser calculadas aumenta en el orden de N ² , por lo que es directo. la integración de las ecuaciones diferenciales puede resultar prohibitivamente costosa desde el punto de vista computacional. Por lo tanto, se utilizan habitualmente varios refinamientos.

La integración numérica generalmente se realiza en pequeños intervalos de tiempo utilizando un método como la integración de salto . Sin embargo, toda integración numérica conduce a errores. Los pasos más pequeños dan menos errores pero se ejecutan más lentamente. La integración de Leapfrog es aproximadamente de segundo orden en el paso de tiempo, otros integradores como los métodos de Runge-Kutta pueden tener una precisión de cuarto orden o mucho mayor.

Uno de los refinamientos más simples es que cada partícula lleva consigo su propia variable de paso de tiempo, por lo que las partículas con tiempos dinámicos muy diferentes no tienen que evolucionar hacia adelante a la velocidad de la que tiene el tiempo más corto.

Hay dos esquemas de aproximación básicos para disminuir el tiempo de cálculo para tales simulaciones. Estos pueden reducir la complejidad computacional a O (N log N) o mejor, con pérdida de precisión.

Métodos de árbol

En los métodos de árbol , como una simulación de Barnes-Hut , generalmente se usa un octárbol para dividir el volumen en celdas cúbicas y solo las interacciones entre partículas de celdas cercanas deben tratarse individualmente; las partículas en células distantes pueden tratarse colectivamente como una sola partícula grande centrada en el centro de masa de la célula distante (o como una expansión multipolar de bajo orden ). Esto puede reducir drásticamente el número de interacciones de pares de partículas que deben calcularse. Para evitar que la simulación se inunde al calcular las interacciones partícula-partícula, las celdas deben refinarse a celdas más pequeñas en partes más densas de la simulación que contienen muchas partículas por celda. Para las simulaciones en las que las partículas no se distribuyen uniformemente, los métodos de descomposición de pares bien separados de Callahan y Kosaraju producen un tiempo O ( n log n ) óptimo por iteración con dimensión fija.

Método de malla de partículas

Otra posibilidad es el método de malla de partículas en el que el espacio se discretiza en una malla y, para calcular el potencial gravitacional , se supone que las partículas se dividen entre los vértices cercanos de la malla. Encontrar la energía potencial Φ es fácil, porque la ecuación de Poisson

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 4 \ pi G {\ rho}, \,}

donde G es la constante de Newton y ${\ Displaystyle {\ rho}}$ es la densidad (número de partículas en los puntos de la malla), es trivial de resolver usando la transformada rápida de Fourier para ir al dominio de frecuencia donde la ecuación de Poisson tiene la forma simple

{\ Displaystyle {\ hat {\ Phi}} = - 4 \ pi G {\ frac {\ hat {\ rho}} {k ^ {2}}}, \,}

dónde ${\ Displaystyle {\ vec {k}}}$ es el número de onda comoving y los sombreros denotan transformadas de Fourier. Desde ${\ Displaystyle {\ vec {g}} = - {\ vec {\ nabla}} \ Phi}$ , el campo gravitacional ahora se puede encontrar multiplicando por ${\ Displaystyle -i {\ vec {k}}}$ y calcular la transformada inversa de Fourier (o calcular la transformada inversa y luego usar algún otro método). Dado que este método está limitado por el tamaño de la malla, en la práctica se utiliza una malla más pequeña o alguna otra técnica (como la combinación con un árbol o un algoritmo simple partícula-partícula) para calcular las fuerzas a pequeña escala. A veces se utiliza una malla adaptativa, en la que las celdas de la malla son mucho más pequeñas en las regiones más densas de la simulación.

Optimizaciones para casos especiales

Se utilizan varios algoritmos de perturbación gravitacional diferentes para obtener estimaciones bastante precisas de la trayectoria de los objetos en el sistema solar.

Las personas a menudo deciden poner un satélite en una órbita congelada . La trayectoria de un satélite en órbita cercana a la Tierra se puede modelar con precisión a partir de la órbita elíptica de 2 cuerpos alrededor del centro de la Tierra y agregando pequeñas correcciones debido a la oblación de la Tierra , la atracción gravitacional del Sol y la Luna, la resistencia atmosférica , etc. Es posible encontrar una órbita congelada sin calcular la ruta real del satélite.

La trayectoria de un planeta pequeño, cometa o nave espacial de largo alcance a menudo se puede modelar con precisión a partir de la órbita elíptica de 2 cuerpos alrededor del sol y agregando pequeñas correcciones de la atracción gravitacional de los planetas más grandes en sus órbitas conocidas.

Algunas características de las trayectorias a largo plazo de un sistema de partículas se pueden calcular directamente. La trayectoria real de cualquier partícula en particular no necesita calcularse como un paso intermedio. Tales características incluyen la estabilidad de Lyapunov , el tiempo de Lyapunov , varias mediciones de la teoría ergódica , etc.

Sistemas de dos partículas

Aunque hay millones o miles de millones de partículas en simulaciones típicas, normalmente corresponden a una partícula real con una masa muy grande, típicamente 10 ⁹ masas solares . Esto puede introducir problemas con interacciones de corto alcance entre las partículas, como la formación de sistemas binarios de dos partículas . Como las partículas están destinadas a representar un gran número de partículas de materia oscura o grupos de estrellas, estas binarias no son físicas. Para evitar esto, se usa una ley de fuerza newtoniana suavizada , que no diverge como el radio del inverso del cuadrado en distancias cortas. La mayoría de las simulaciones implementan esto de forma bastante natural al ejecutar las simulaciones en celdas de tamaño finito. Es importante implementar el procedimiento de discretización de tal manera que las partículas siempre ejerzan una fuerza de fuga sobre sí mismas.

Reblandecimiento

El ablandamiento es un truco numérico utilizado en técnicas de N-cuerpos para evitar divergencias numéricas cuando una partícula se acerca demasiado a otra (y la fuerza llega al infinito). Esto se obtiene modificando el potencial gravitacional regularizado de cada partícula como

{\ Displaystyle \ Phi = - {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + \ epsilon ^ {2}}}},}

(en lugar de 1 / r) donde ${\ Displaystyle \ epsilon}$ es el parámetro de ablandamiento. El valor del parámetro de suavizado debe establecerse lo suficientemente pequeño para que las simulaciones sean realistas.

Incorporación de bariones, leptones y fotones en simulaciones

Muchas simulaciones simulan solo materia oscura fría y, por lo tanto, incluyen solo la fuerza gravitacional. La incorporación de bariones , leptones y fotones en las simulaciones aumenta drásticamente su complejidad y, a menudo, se deben realizar simplificaciones radicales de la física subyacente. Sin embargo, esta es un área extremadamente importante y muchas simulaciones modernas ahora están tratando de comprender los procesos que ocurren durante la formación de galaxias que podrían explicar el sesgo de las galaxias .

Complejidad computacional

Reif y Tate ^[3] prueban que si el problema de accesibilidad de n cuerpos se define de la siguiente manera - dados n cuerpos que satisfacen una ley de potencial electrostático fija, determinando si un cuerpo alcanza una bola de destino en un límite de tiempo dado donde se requiere un poli ( n ) bits de precisión y el tiempo objetivo es poly ( n ) está en PSPACE .

Por otro lado, si la pregunta es si el cuerpo finalmente llega a la bola de destino, el problema es PSPACE-hard. Estos límites se basan en límites de complejidad similares obtenidos para el trazado de rayos .

Ver también

Carrera del Milenio
Estructura a gran escala del cosmos
ARTILUGIO
Formación y evolución de galaxias
Unidades naturales
Consorcio Virgo
Simulación de Barnes – Hut
Simulación cosmológica Bolshoi

Referencias

^ Trenti, Michele; Choza, Piet (2008). "Simulaciones de N-cuerpos (gravitacionales)" . Scholarpedia . 3 (5): 3930. Código bibliográfico : 2008SchpJ ... 3.3930T . doi : 10.4249 / scholarpedia.3930 . Consultado el 25 de marzo de 2014 .
^ Holmberg, Erik (1941). "Sobre las tendencias de agrupamiento entre las nebulosas. II. Un estudio de encuentros entre modelos de laboratorio de sistemas estelares mediante un nuevo procedimiento de integración". El diario astrofísico . 94 (3): 385–395. Código bibliográfico : 1941ApJ .... 94..385H . doi : 10.1086 / 144344 .
^ John H. Reif; Stephen R. Tate (1993). "La complejidad de la simulación de N-body". Autómatas, lenguajes y programación . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. págs. 162-176. CiteSeerX 10.1.1.38.6242 .

Otras lecturas

von Hoerner, Sebastián (1960). "Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. I". Zeitschrift für Astrophysik (en alemán). 50 : 184. Bibcode : 1960ZA ..... 50..184V .
von Hoerner, Sebastián (1963). "Die numerische Integration des n -Körper-Problemes für Sternhaufen. II". Zeitschrift für Astrophysik (en alemán). 57 : 47. Bibcode : 1963ZA ..... 57 ... 47V .
Aarseth, Sverre J. (2003). Simulaciones de cuerpos N gravitacionales : herramientas y algoritmos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-12153-8.
Bertschinger, Edmund (1998). "Simulaciones de formación de estructuras en el universo". Revista anual de astronomía y astrofísica . 36 (1): 599–654. Código Bibliográfico : 1998ARA & A..36..599B . doi : 10.1146 / annurev.astro.36.1.599 .
Binney, James; Tremaine, Scott (1987). Dinámica galáctica . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08445-9.
Callahan, Paul B .; Kosaraju, Sambasiva Rao (1992). "Una descomposición de conjuntos de puntos multidimensionales con aplicaciones a k -vecinos más cercanos y campos potenciales de n-cuerpos (versión preliminar)". STOC '92: Proc. ACM Symp. Teoría de la Computación . ACM..

[Trenti-1] Trenti, Michele; Choza, Piet (2008). "Simulaciones de N-cuerpos (gravitacionales)" . Scholarpedia . 3 (5): 3930. Código bibliográfico : 2008SchpJ ... 3.3930T . doi : 10.4249 / scholarpedia.3930 . Consultado el 25 de marzo de 2014 .

[Holmberg1941-2] Holmberg, Erik (1941). "Sobre las tendencias de agrupamiento entre las nebulosas. II. Un estudio de encuentros entre modelos de laboratorio de sistemas estelares mediante un nuevo procedimiento de integración". El diario astrofísico . 94 (3): 385–395. Código bibliográfico : 1941ApJ .... 94..385H . doi : 10.1086 / 144344 .

[3] John H. Reif; Stephen R. Tate (1993). "La complejidad de la simulación de N-body". Autómatas, lenguajes y programación . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. págs. 162-176. CiteSeerX 10.1.1.38.6242 .

[1]