En matemáticas, el orden de Nambooripad [1] (también llamado orden parcial de Nambooripad ) es un cierto orden parcial natural en un semigrupo regular descubierto por KSS Nambooripad [2] a finales de los setenta. Dado que el mismo orden parcial también fue descubierto independientemente por Robert E Hartwig, [3] algunos autores se refieren a él como orden Hartwig-Nambooripad . [4] "Natural" aquí significa que el orden se define en términos de la operación en el semigrupo.
En general, el orden de Nambooripad en un semigrupo regular no es compatible con la multiplicación. Es compatible con la multiplicación solo si el semigrupo es pseudo-inverso (localmente inverso).
Precursores
El orden parcial de Nambooripad es una generalización de un orden parcial conocido anterior en el conjunto de idempotentes en cualquier semigrupo . El orden parcial en el conjunto E de idempotentes en un semigrupo S se define de la siguiente manera: Para cualquier e y f en E , e ≤ f si y solo si e = ef = fe .
Vagner en 1952 se había extendido esto a semigrupos inversos de la siguiente manera: Para cualquier una y b en una inversa semigrupo S , un ≤ b si y sólo si un = eb para algunos idempotente e en S . En el semigrupo inverso simétrico , este orden coincide de hecho con la inclusión de transformaciones parciales consideradas como conjuntos. Esta orden parcial es compatible con la multiplicación de ambos lados, es decir, si un ≤ b entonces ac ≤ bc y ca ≤ cb para todos c en S .
Nambooripad extendió estas definiciones a semigrupos regulares.
Definiciones (semigrupo regular)
El orden parcial en un semigrupo regular descubierto por Nambooripad se puede definir de varias formas equivalentes. A continuación se dan tres de estas definiciones. Mitsch ha establecido la equivalencia de estas definiciones y otras definiciones. [5]
Definición (Nambooripad)
Deje S ser cualquier semigrupo regular y S 1 sean semigrupo obtenido por contiguo a la identidad del 1 al S . Para cualquier x en S, sea R x la clase R verde de S que contiene x . La relación R x ≤ R y definido por xS 1 ⊆ yS 1 es un orden parcial en la colección de verdes R-clases en S . Para a y b en S la relación ≤ definida por
- a ≤ b si y solo si R a ≤ R b y a = fb para algún idempotente f en R a
es un orden parcial en S . Esto es un orden parcial natural en S .
Definición (Hartwig)
Para cualquier elemento de una en una semigrupo regular de S , deja que V ( un ) el conjunto de inversas de una , es decir, el conjunto de todos los x en S tal que axa = una y xax = x . Para a y b en S la relación ≤ definida por
- a ≤ b si y solo si a'a = a'b y aa ' = ba' para algún a ' en V ( a )
es un orden parcial en S . Esto es un orden parcial natural en S .
Definición (Mitsch)
Para una y b en un semigrupo regular de S la relación ≤ definido por
- un ≤ b si y sólo si un = xa = xb = por algún elemento de x y y en S
es un orden parcial en S . Esto es un orden parcial natural en S .
Extensión a semigrupos arbitrarios (PR Jones)
Para una y b en una arbitraria semigrupo S , un ≤ J b si y sólo si existen e , f idempotentes en S 1 de tal manera que un = ser = fb .
Esta es una relación reflexiva en cualquier semigrupo, y si S es regular coincide con el orden de Nambooripad. [6]
Orden parcial natural de Mitsch
Mitsch generalizó aún más la definición de orden Nambooripad a semigrupos arbitrarios. [7] [8]
La formulación más perspicaz de la orden de Mitsch es la siguiente. Deje una y b sea dos elementos de un semigrupo arbitraria S . Entonces un ≤ M b si y sólo si no existe t y s en S 1 de tal manera que tb = ta = un = como = ancho .
En general, para un semigrupo arbitraria ≤ J es un subconjunto de ≤ M . Sin embargo, para los epigrupos coinciden. Además, si b es un elemento regular de S (que no necesita ser todo regular), entonces para cualquier a en S a ≤ J b sif a ≤ M b. [6]
Ver también
Referencias
- ^ Thomas Scott Blyth (2005). Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Saltador. págs. 228 –232. ISBN 978-1-85233-905-0.
- ^ KSS Nambooripad (1980). "El orden parcial natural en un semigrupo regular" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 23 (3): 249–260. doi : 10.1017 / s0013091500003801 .
- ^ R. Hartwig (1980). "Cómo ordenar parcialmente elementos regulares". Mathematica Japonica . 25 (1): 1–13.
- ^ JB Hickey (2004). "Sobre la conservación de la regularidad en un semigrupo" . Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 69 : 69–86. doi : 10.1017 / s0004972700034274 .
- ^ H. Mitsch (julio de 1986). "Un orden parcial natural para semigrupos" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 97 (3): 384. doi : 10.1090 / s0002-9939-1986-0840614-0 . Consultado el 11 de abril de 2011 .
- ^ a b Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 46 –48. ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ Peter M. Higgins (1994). "El pedido de Mitsch en un semigrupo". Foro de Semigroup . 49 (1): 261–266. doi : 10.1007 / BF02573488 .
- ^ Mario Petrich (2001). "Ciertos pedidos parciales sobre semigrupos" (PDF) . Revista matemática checoslovaca . 51 (2): 415–432. doi : 10.1023 / a: 1013711417539 . hdl : 10338.dmlcz / 127657 . Consultado el 11 de abril de 2011 .