Una serie de Neumann es una serie matemática de la forma
donde T es un operador ysu aplicación repetida k veces. Esto generaliza la serie geométrica .
La serie lleva el nombre del matemático Carl Neumann , quien la utilizó en 1877 en el contexto de la teoría del potencial . La serie de Neumann se utiliza en análisis funcional . Forma la base de la serie de Liouville-Neumann , que se utiliza para resolver las ecuaciones integrales de Fredholm . También es importante al estudiar el espectro de operadores acotados.
Propiedades
Supongamos que T es un operador lineal limitado en el espacio vectorial normado X . Si la serie de Neumann converge en la norma del operador , entonces Id - T es invertible y su inversa es la serie:
- ,
dónde es el operador de identidad en X . Para ver por qué, considere las sumas parciales
- .
Entonces nosotros tenemos
Este resultado en los operadores es análogo a las series geométricas en, en el que encontramos que:
Un caso en el que se garantiza la convergencia es cuando X es un espacio de Banach y | T | <1 en la norma del operador oes convergente. Sin embargo, también hay resultados que dan condiciones más débiles bajo las cuales la serie converge.
Ejemplo
Dejar ser dado por:
Necesitamos mostrar que C es menor que la unidad en alguna norma . Por tanto, calculamos:
Por lo tanto, sabemos por la declaración anterior que existe.
El conjunto de operadores invertibles está abierto
Un corolario es que el conjunto de operadores invertibles entre dos espacios de Banach B y B ' está abierto en la topología inducida por la norma del operador. De hecho, sea S : B → B 'un operador invertible y sea T : B → B ' otro operador. Si
| S - T | <| S −1 | −1 ,
entonces T también es invertible.
Dado que | Id - S −1 T | <1, la serie de Neumann Σ (Id - ( S −1 T )) k es convergente. Por lo tanto, tenemos
T −1 S = (Id - (Id - S −1 T )) −1 = Σ (Id - ( S −1 T )) k .
Tomando las normas, obtenemos
| T −1 S | ≤ 1 / (1 - | Id - ( S −1 T ) |).
La norma de T −1 puede estar acotada por
Aplicaciones
La serie Neumann se ha utilizado para la detección de datos lineales en sistemas inalámbricos masivos multiusuario de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). El uso de una serie de Neumann truncada evita el cálculo de una matriz explícita inversa, lo que reduce la complejidad de la detección de datos lineales de cúbicos a cuadrados. [1]
Referencias
- ^ Wu, M .; Yin, B .; Vosoughi, A .; Studer, C .; Cavallaro, JR; Dick, C. (mayo de 2013). "Inversión de matriz aproximada para la detección de datos de alto rendimiento en el enlace ascendente MIMO a gran escala" . Simposio internacional de circuitos y sistemas de IEEE (ISCAS) : 2155–2158. doi : 10.1109 / ISCAS.2013.6572301 . hdl : 1911/75011 .
- Werner, Dirk (2005). Funktionalanalysis (en alemán). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.