En matemáticas , la ecuación integral de Fredholm es una ecuación integral cuya solución da lugar a la teoría de Fredholm , el estudio de los núcleos de Fredholm y los operadores de Fredholm . La ecuación integral fue estudiada por Ivar Fredholm . Un método útil para resolver tales ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .
Ecuación del primer tipo
Una ecuación de Fredholm es una ecuación integral en la que el término que contiene la función del núcleo (definida a continuación) tiene constantes como límites de integración. Una forma estrechamente relacionada es la ecuación integral de Volterra que tiene límites integrales variables.
Una ecuación de Fredholm no homogénea del primer tipo se escribe como
y el problema es, dada la continua kernel función y la función , para encontrar la función .
Un caso importante de estos tipos de ecuaciones es el caso en el que el núcleo es función únicamente de la diferencia de sus argumentos, a saber , y los límites de integración son ± ∞, entonces el lado derecho de la ecuación se puede reescribir como una convolución de las funciones y y por tanto, formalmente, la solución viene dada por
dónde y son las transformadas de Fourier directa e inversa , respectivamente. Este caso no se incluiría típicamente bajo el paraguas de las ecuaciones integrales de Fredholm, un nombre que generalmente se reserva para cuando el operador integral define un operador compacto (los operadores de convolución en grupos no compactos no son compactos, ya que, en general, el espectro del operador de convolución con contiene el rango de , que suele ser un conjunto no contable, mientras que los operadores compactos tienen espectros contables discretos).
Ecuación del segundo tipo
Una ecuación de Fredholm no homogénea del segundo tipo se da como
Dado el núcleo K (t, s) y la función f (t) , el problema suele ser encontrar la función φ (t) .
Un enfoque estándar para resolver esto es utilizar la iteración, que equivale al formalismo resolutivo ; escrita como una serie, la solución se conoce como serie de Liouville-Neumann .
Teoría general
La teoría general que subyace a las ecuaciones de Fredholm se conoce como teoría de Fredholm . Uno de los principales resultados es que el kernel K produce un operador compacto . La compacidad se puede demostrar invocando la equicontinuidad . Como operador, tiene una teoría espectral que se puede entender en términos de un espectro discreto de valores propios que tienden a 0.
Aplicaciones
Las ecuaciones de Fredholm surgen naturalmente en la teoría del procesamiento de señales , por ejemplo, como el famoso problema de concentración espectral popularizado por David Slepian . Los operadores involucrados son los mismos que los filtros lineales . También surgen comúnmente en el modelado directo lineal y los problemas inversos . En física, la solución de tales ecuaciones integrales permite que los espectros experimentales se relacionen con varias distribuciones subyacentes, por ejemplo, la distribución de masa de los polímeros en una masa fundida polimérica, [1] o la distribución de los tiempos de relajación en el sistema. [2] Además, las ecuaciones integrales de Fredholm también surgen en problemas de mecánica de fluidos que involucran interacciones hidrodinámicas cerca de interfaces elásticas de tamaño finito. [3] [4]
Ver también
Referencias
- ^ Honerkamp, J .; Weese, J. (1990). "Método de regularización de Tikhonov para problemas mal planteados". Mecánica continua y termodinámica . 2 (1): 17–30. Código Bibliográfico : 1990CMT ..... 2 ... 17H . doi : 10.1007 / BF01170953 .
- ^ Schäfer, H .; Sternin, E .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Kremer, F. (18 de marzo de 1996). "Enfoque novedoso para el análisis de espectros dieléctricos de banda ancha". Cartas de revisión física . 76 (12): 2177–2180. Código Bibliográfico : 1996PhRvL..76.2177S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.76.2177 . PMID 10060625 .
- ^ Daddi-Moussa-Ider, A .; Kaoui, B .; Löwen, H. (9 de abril de 2019). "Flujo axisimétrico debido a un Stokeslet cerca de una membrana elástica de tamaño finito". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . doi : 10.7566 / JPSJ.88.054401 .
- ^ Daddi-Moussa-Ider, A. (25 de noviembre de 2020). "Flujo asimétrico de Stokes inducido por una fuerza de punto transversal que actúa cerca de una membrana elástica de tamaño finito". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . doi : 10.7566 / JPSJ.89.124401 .
- Ecuaciones integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
- AD Polyanin y AV Manzhirov, Manual de ecuaciones integrales , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
- Khvedelidze, BV; Litvinov, GL (2001) [1994], "Fredholm kernel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Simons, FJ; Wieczorek, MA; Dahlen, FA (2006). "Concentración espacioespectral en una esfera". Revisión SIAM . 48 (3): 504–536. arXiv : matemáticas / 0408424 . Código bibliográfico : 2006SIAMR..48..504S . doi : 10.1137 / S0036144504445765 .
- Slepian, D. (1983). "Algunos comentarios sobre análisis de Fourier, incertidumbre y modelado". Revisión SIAM . 25 (3): 379–393. doi : 10.1137 / 1025078 .
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 19.1. Ecuaciones de Fredholm de segundo tipo" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
- Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Métodos matemáticos de la física (2a ed.), Nueva York: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
enlaces externos
- IntEQ: un paquete de Python para resolver numéricamente ecuaciones integrales de Fredholm