En matemáticas , se dice que una función definida en una región del plano complejo es de tipo acotado si es igual a la razón de dos funciones analíticas acotadas en esa región. Pero de manera más general, una función es de tipo acotado en una región si y solo si es analítico en y tiene un majorant armónico en dónde . Ser la razón de dos funciones analíticas acotadas es una condición suficiente para que una función sea de tipo acotado (definida en términos de un armónico mayor), y siestá simplemente conectado, la condición también es necesaria.
La clase de todos esos en se denota comúnmente y a veces se llama la clase Nevanlinna por. La clase Nevanlinna incluye todas las clases Hardy .
Las funciones de tipo acotado no están necesariamente acotadas, ni tienen una propiedad llamada "tipo" que esté acotada. La razón del nombre es probablemente que cuando se define en un disco, la característica de Nevanlinna (una función de la distancia desde el centro del disco) está limitada.
Claramente, si una función es la razón de dos funciones acotadas, entonces se puede expresar como la razón de dos funciones que están acotadas por 1:
Los logaritmos de y de no son negativos en la región, por lo que
Este último es la parte real de una función analítica y, por lo tanto, es armónico, lo que demuestra que tiene un armónico mayor en Ω.
Para una región dada, las sumas, diferencias y productos de funciones de tipo acotado son de tipo acotado, al igual que el cociente de dos de tales funciones siempre que el denominador no sea idénticamente cero.
Ejemplos de
Los polinomios son de tipo acotado en cualquier región acotada. También son de tipo acotado en el semiplano superior (UHP), porque un polinomiode grado n se puede expresar como una relación de dos funciones analíticas limitadas en la UHP:
con
La inversa de un polinomio también es de tipo acotado en una región, al igual que cualquier función racional .
La función es de tipo acotado en la UHP si y solo si a es real. Si a es positivo, la función en sí está limitada en el UHP (por lo que podemos usar), y si a es negativo, la función es igual a 1 / Q (z) con.
El seno y el coseno son de tipo acotado en la UHP. En efecto,
con
ambos delimitados en la UHP.
Todos los ejemplos anteriores también son de tipo acotado en el semiplano inferior, utilizando diferentes funciones P y Q. Pero la región mencionada en la definición del término "tipo acotado" no puede ser todo el plano complejo a menos que la función sea constante porque uno debe usar la misma P y Q en toda la región, y las únicas funciones completas (es decir, analíticas en todo el plano complejo) que están acotadas son constantes, según el teorema de Liouville .
Otro ejemplo en el semiplano superior es una " función de Nevanlinna ", es decir, una función analítica que mapea la UHP con la UHP cerrada. Si f ( z ) es de este tipo, entonces
donde P y Q son las funciones acotadas:
(Esto obviamente se aplica también a , es decir, una función cuya parte real no es negativa en la UHP.)
Propiedades
Para una región determinada, la suma, el producto o el cociente de dos funciones (no nulas) de tipo acotado también es de tipo acotado. El conjunto de funciones de tipo acotado es un álgebra sobre los números complejos y de hecho es un campo .
Cualquier función de tipo acotado en el semiplano superior (con un número finito de raíces en alguna vecindad de 0) se puede expresar como un producto de Blaschke (una función analítica, acotada en la región, que factoriza los ceros) multiplicando el cociente dónde y están delimitados por 1 y no tienen ceros en el UHP. Entonces se puede expresar este cociente como
dónde y son funciones analíticas que tienen una parte real no negativa en la UHP. Cada uno de estos, a su vez, puede expresarse mediante una representación de Poisson (consulte las funciones de Nevanlinna ):
donde c y d son constantes imaginarios, p y q son constantes reales no negativos, y μ y ν son no decreciente funciones de una variable real (de buen comportamiento por lo que los integrales convergen). A la diferencia q − p se le ha dado el nombre de "tipo medio" por Louis de Branges y describe el crecimiento o decadencia de la función a lo largo del eje imaginario:
El tipo de media en el semiplano superior es el límite de un promedio ponderado del logaritmo del valor absoluto de la función dividido por la distancia desde cero, normalizado de tal manera que el valor de es 1: [1]
Si una función completa es de tipo acotado tanto en el semiplano superior como en el inferior, entonces es de tipo exponencial igual al mayor de los dos "tipos medios" respectivos [2] (y el superior no será negativo) . Una función completa de orden mayor que 1 (lo que significa que en alguna dirección crece más rápido que una función de tipo exponencial) no puede ser de tipo acotado en ningún semiplano.
Por lo tanto, podemos producir una función de tipo acotado usando un exponencial apropiado de z y exponenciales de funciones arbitrarias de Nevanlinna multiplicadas por i , por ejemplo:
Con respecto a los ejemplos dados anteriormente, el tipo medio de polinomios o sus inversos es cero. El tipo medio deen el semiplano superior es - a , mientras que en el semiplano inferior es a . El tipo medio de en ambos semiplanos es 1.
Las funciones de tipo acotado en el semiplano superior con tipo medio no positivo y que tienen una extensión continua, integrable al cuadrado al eje real tienen la propiedad interesante (útil en aplicaciones) que la integral (a lo largo del eje real)
es igual a si z está en el semiplano superior y cero si z está en el semiplano inferior. [3] Esto puede denominarse la fórmula de Cauchy para el semiplano superior.
Ver también
Referencias
- ^ Louis de Branges . Espacios de Hilbert de funciones completas . Prentice Hall. pag. 26.
- ^ Según un teorema de Mark Kerin . Ver pág. 26 del libro de De Branges.
- ^ Teorema 12 en el libro de de Branges.
- Conway, John B. Funciones de una variable compleja II . Textos de Posgrado en Matemáticas . 159 . Springer-Verlag . pag. 273. ISBN 0-387-94460-5.
- Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Temas en clases Hardy y funciones univalentes . Textos avanzados Birkhauser: libros de texto de Basilea. Basilea: Birkhauser Verlag.