En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , se dice que una función holomórfica es de tipo exponencial C si su crecimiento está limitado por la función exponencial e C | z | para alguna constante de valor real C como | z | → ∞. Cuando una función está acotada de esta manera, es posible expresarla como ciertos tipos de sumaciones convergentes sobre una serie de otras funciones complejas, así como comprender cuándo es posible aplicar técnicas como la suma de Borel o, por ejemplo, , para aplicar la transformada de Mellin, o realizar aproximaciones utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin . El caso general lo maneja el teorema de Nachbin , que define la noción análoga de tipo Ψ para una función general Ψ ( z ) en oposición a e z .
Idea básica
Se dice que una función f ( z ) definida en el plano complejo es de tipo exponencial si existen constantes de valor real M y τ tales que
en el limite de . Aquí, la variable compleja z se escribió comopara enfatizar que el límite debe mantenerse en todas las direcciones θ . Dejando que τ represente el mínimo de todos esos τ , entonces se dice que la función f es de tipo exponencial τ .
Por ejemplo, deja . Entonces uno dice que es de tipo exponencial π, ya que π es el número más pequeño que limita el crecimiento de a lo largo del eje imaginario. Entonces, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que π. Del mismo modo, tampoco se puede aplicar la fórmula de Euler-Maclaurin , ya que también expresa un teorema anclado en última instancia en la teoría de las diferencias finitas .
Definicion formal
Una función holomorfa se dice que es de tipo exponencial si por cada existe una constante de valor real tal que
por dónde . Decimos es de tipo exponencial si es de tipo exponencial para algunos . El número
es el tipo exponencial de . El límite superior aquí significa el límite del supremo de la relación fuera de un radio dado cuando el radio llega al infinito. Este es también el límite superior al máximo de la relación en un radio dado cuando el radio llega al infinito. El límite superior puede existir incluso si el máximo en el radio r no tiene un límite cuando r llega al infinito. Por ejemplo, para la función
El valor de
a es asintótico a y por lo tanto va a cero cuando n va al infinito, [1] pero F ( z ) es, no obstante, de tipo exponencial 1, como se puede ver al observar los puntos.
Tipo exponencial con respecto a un cuerpo convexo simétrico
Stein (1957) ha dado una generalización de tipo exponencial para funciones completas de varias variables complejas . Suponeres un subconjunto convexo , compacto y simétrico de. Se sabe que para cada uno de esoshay una norma asociada con la propiedad que
En otras palabras, ¿Está la bola unitaria en con respecto a . El conjunto
se llama conjunto polar y también es un subconjunto convexo , compacto y simétrico de. Además, podemos escribir
Extendemos de a por
Toda una función de -Las variables complejas se dice que son de tipo exponencial con respecto a si por cada existe una constante de valor real tal que
para todos .
Espacio Fréchet
Colecciones de funciones de tipo exponencial puede formar un espacio uniforme completo , a saber, un espacio de Fréchet , por la topología inducida por la familia contable de normas
Ver también
- Teorema de Paley-Wiener
- Espacio Paley – Wiener
Referencias
- ^ De hecho, incluso va a cero en a medida que n va al infinito.