Celosía de Niemeier
En matemáticas , una celosía de Niemeier es una de las 24 celosías positivas definidas incluso unimodulares de rango 24, que fueron clasificadas por Hans-Volker Niemeier ( 1973 ). Venkov (1978) dio una prueba simplificada de la clasificación. Witt (1941) tiene una oración que menciona que encontró más de 10 de tales celosías, pero no da más detalles. Un ejemplo de celosía de Niemeier es la celosía Leech .
Las celosías de Niemeier generalmente se etiquetan mediante el diagrama de Dynkin de sus sistemas de raíces . Estos diagramas de Dynkin tienen rango 0 o 24, y todos sus componentes tienen el mismo número de Coxeter . (El número de Coxeter, al menos en estos casos, es el número de raíces dividido por la dimensión). Hay exactamente 24 diagramas de Dynkin con estas propiedades, y resulta que hay una red de Niemeier única para cada uno de estos diagramas de Dynkin.
Si L es un retículo unimodular impar de dimensión 8 n y M su subrretículo de vectores pares, entonces M está contenido en exactamente 3 retículos unimodulares, uno de los cuales es L y los otros dos son pares. (Si L tiene un vector norma 1, entonces las dos celosías pares son isomórficas ). El gráfico de vecindad de Kneser en 8 n dimensiones tiene un punto para cada celosía par y una línea que une dos puntos para cada 8 n imparcelosía dimensional sin vectores de norma 1, donde los vértices de cada línea son las dos celosías pares asociadas a la celosía impar. Puede haber varias líneas entre el mismo par de vértices y puede haber líneas desde un vértice a sí mismo. Kneser demostró que este gráfico siempre está conectado. En 8 dimensiones tiene un punto y sin líneas, en 16 dimensiones tiene dos puntos unidos por una línea, y en 24 dimensiones es el siguiente gráfico:
Cada punto representa una de las 24 celosías de Niemeier, y las líneas que los unen representan las celosías unimodulares impares de 24 dimensiones sin vectores de norma 1. (Las líneas gruesas representan varias líneas). El número de la derecha es el número de Coxeter del enrejado de Niemeier.
Algunas de las celosías de Niemeier están relacionadas con grupos simples esporádicos . La celosía Leech está actuada por una doble cubierta del grupo Conway , y las celosías A 1 24 y A 2 12 son actuadas por los grupos Mathieu M 24 y M 12 .
Las celosías Niemeier, distintas de la celosía Leech, corresponden a los agujeros profundos de la celosía Leech. Esto implica que los diagramas afines de Dynkin de las celosías de Niemeier se pueden ver dentro de la celosía Leech, cuando dos puntos de la celosía Leech no están unidos por líneas cuando tienen distancia , por 1 línea si tienen distancia y por una línea doble si tienen distancia .
