En matemáticas , una matriz de desplazamiento es una matriz binaria con unos solo en la superdiagonal o subdiagonal , y ceros en otras partes. Una matriz de desplazamiento U con unos en la superdiagonal es una matriz de desplazamiento superior . Como era de esperar, la matriz subdiagonal alternativa L se conoce como matriz de desplazamiento inferior . El ( i , j ): th componente de U y L son
dónde es el símbolo delta de Kronecker .
Por ejemplo, las matrices de desplazamiento de 5 × 5 son
Claramente, la transposición de una matriz de desplazamiento inferior es una matriz de desplazamiento superior y viceversa.
Como transformación lineal, una matriz de desplazamiento inferior desplaza los componentes de un vector de columna una posición hacia abajo, con un cero que aparece en la primera posición. Una matriz de desplazamiento superior desplaza los componentes de un vector de columna una posición hacia arriba, con un cero que aparece en la última posición. [1]
Multiplicar previamente una matriz A por una matriz de desplazamiento inferior da como resultado que los elementos de A se desplacen hacia abajo en una posición, con ceros que aparecen en la fila superior. La posmultiplicación por una matriz de desplazamiento inferior da como resultado un desplazamiento a la izquierda. Operaciones similares que involucran una matriz de cambio superior dan como resultado el cambio opuesto.
Claramente, todas las matrices de desplazamiento de dimensión finita son nilpotentes ; una matriz de desplazamiento de n por n S se convierte en la matriz nula cuando se eleva a la potencia de su dimensión n .
Las matrices de desplazamiento actúan sobre los espacios de desplazamiento . Las matrices de desplazamiento de dimensión infinita son particularmente importantes para el estudio de sistemas ergódicos . Ejemplos importantes de cambios de dimensión infinita son el cambio de Bernoulli , que actúa como un cambio en el espacio de Cantor , y el mapa de Gauss , que actúa como un cambio en el espacio de fracciones continuas (es decir, en el espacio de Baire ).
Propiedades
Sean L y U las matrices de desplazamiento inferior y superior de n por n , respectivamente. Las siguientes propiedades tanto para U y L . Por lo tanto, enumeremos solo las propiedades para U :
- det ( U ) = 0
- traza ( U ) = 0
- rango ( U ) = n - 1
- Los polinomios característicos de U es
- U n = 0. Esto se deriva de la propiedad anterior del teorema de Cayley-Hamilton .
- El permanente de U es 0 .
Las siguientes propiedades muestran cómo se relacionan U y L :
- L T = U ; U T = L
- Los espacios nulos de U y L son
- El espectro de U y L es. La multiplicidad algebraica de 0 es n , y su multiplicidad geométrica es 1 . De las expresiones para los espacios nulos, se deduce que (hasta una escala) el único vector propio para U es, y el único vector propio para L es.
- Para LU y UL tenemos
- Estas matrices son idempotentes, simétricas y tienen el mismo rango que U y L
- L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I (la matriz de identidad ), para cualquier número entero a entre 0 y n inclusive.
Si N es cualquier matriz nilpotente , entonces N es similar a una matriz diagonal de bloques de la forma
donde cada uno de los bloques S 1 , S 2 , ..., S r es una matriz de desplazamiento (posiblemente de diferentes tamaños). [2] [3]
Ejemplos de
Luego,
Claramente hay muchas permutaciones posibles . Por ejemplo,es igual a la matriz A desplazada hacia arriba y hacia la izquierda a lo largo de la diagonal principal.
Ver también
Notas
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 312)
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 312,313)
- ^ Herstein (1964 , p. 250)
Referencias
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
- Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016