En matemáticas , la teoría de campos de clase no abeliano es un eslogan, es decir, la extensión de los resultados de la teoría de campos de clase , el conjunto relativamente completa y clásica de resultados en extensiones abelianas de cualquier campo de número de K , a lo general la extensión de Galois L / K . Si bien la teoría del campo de clases se conocía esencialmente en 1930, la teoría no abeliana correspondiente nunca se ha formulado en un sentido definitivo y aceptado. [1]
Historia
Una presentación de la teoría de campos de clase en términos de cohomología grupo se llevó a cabo por Claude Chevalley , Emil Artin y otros, sobre todo en la década de 1940. Esto dio lugar a una formulación de los resultados centrales por medio de la cohomología de grupo del grupo de clase idele . Los teoremas del enfoque cohomológico son independientes de si el grupo G de Galois de L / K es abeliano o no. Esta teoría nunca ha sido considerada como la teoría no abeliana buscada . La primera razón que se puede citar es que no proporcionó información nueva sobre la división de los ideales principales en una extensión de Galois ; Una forma común de explicar el objetivo de una teoría de campo de clases no abeliana es que debería proporcionar una forma más explícita de expresar tales patrones de escisión. [2]
Por lo tanto, el enfoque cohomológico fue de uso limitado incluso en la formulación de teorías de campo de clases no abelianas. Detrás de la historia estaba el deseo de Chevalley de escribir pruebas para la teoría de campos de clases sin usar series de Dirichlet : en otras palabras, eliminar las funciones-L . La primera ola de demostraciones de los teoremas centrales de la teoría de campos de clases se estructuró como consistente en dos "desigualdades" (la misma estructura que en las demostraciones ahora dadas del teorema fundamental de la teoría de Galois , aunque mucho más compleja). Una de las dos desigualdades involucró un argumento con funciones L. [3]
En una inversión posterior de este desarrollo, se advirtió que para generalizar la reciprocidad de Artin al caso no abeliano, era esencial, de hecho, buscar una nueva forma de expresar las funciones L de Artin . La formulación contemporánea de esta ambición es por medio del programa Langlands : en el que se dan motivos para creer que las funciones L de Artin son también funciones L de representaciones automórficas . [4] A principios del siglo XXI, esta es la formulación de la noción de teoría de campo de clase no abeliana que tiene la mayor aceptación entre los expertos. [5]
Notas
- ↑ El problema de crear una teoría de campo de clase no abeliana para extensiones normales con un grupo de Galois no abeliano permanece. De Kuz'min, LV (2001) [1994], "Teoría del campo de clase" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- ↑ A nivel estadístico, el resultado clásico de los números primos en las progresiones aritméticas de Dirichlet se generaliza al teorema de la densidad de Chebotaryov ; lo que se pide es una generalización, del mismo alcance de reciprocidad cuadrática .
- ^ En la terminología actual, esa es la segunda desigualdad. Vea la formación de la clase para una presentación contemporánea.
- ↑ James W. Cogdell, Functoriality, Converse Theorems and Applications (PDF) establece que la funcionalidad en sí misma es una manifestación de la visión de Langlands de una teoría de campo de clase no abeliana .
- ^ La cuestión de las leyes y símbolos de reciprocidad para extensiones de campo no abelianas encaja más adecuadamente en la teoría de campos de clase no abeliana y el programa Langlands : de Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Problemas de Hilbert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press