En matemáticas , la interacción entre el grupo G de Galois de una extensión L de Galois de un campo numérico K , y la forma en que los ideales primos P del anillo de enteros O K se factorizan como productos de los ideales primos de O L , proporciona uno de los más ricos partes de la teoría algebraica de números . La división de los ideales primos en las extensiones de Galois a veces se atribuye a David Hilbert llamándola teoría de Hilbert . Hay un análogo geométrico, para cubiertas ramificadas deSuperficies de Riemann , que es más simple en el sentido de que solo se necesita considerar un tipo de subgrupo de G , en lugar de dos. Esto ciertamente era familiar antes de Hilbert.
Sea L / K una extensión finita de campos numéricos, y sean O K y O L los correspondientes anillos de enteros de K y L , respectivamente, que se definen como la clausura integral de los enteros Z en el campo en cuestión.
Finalmente, sea p un ideal primo distinto de cero en OK , o de manera equivalente, un ideal maximal , de modo que el residuo OK / p sea un campo .
del ideal pO L generado en O L por p en un producto de distintos ideales maximales P j , con multiplicidades e j .
El campo F = O K / p se incrusta naturalmente en F j = O L / P j para cada j , el grado f j = [ O L / P j : O K / p ] de esta extensión de campo residual se denomina grado de inercia de P j sobre p .
La multiplicidad e j se llama índice de ramificación de P j sobre p . Si es mayor que 1 para alguna j , la extensión de campo L / K se llama ramificada en p (o decimos que p ramifica en L , o que está ramificada en L ). De lo contrario, L / K se llama no ramificado en p . Si este es el caso, entonces por el teorema del resto chino el cociente O L /pO L es un producto de campos F j . La extensión L / K está ramificada exactamente en aquellos números primos que dividen el discriminante relativo , por lo tanto, la extensión no está ramificada en todos los ideales primos excepto en un número finito.