álgebra gratis
En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un álgebra libre es el análogo no conmutativo de un anillo de polinomios, ya que sus elementos pueden describirse como "polinomios" con variables que no conmutan. Asimismo, el anillo de polinomios puede considerarse como un álgebra conmutativa libre .
Para R un anillo conmutativo , el álgebra libre ( asociativa , unitaria ) sobre n indeterminados { X 1 ,..., X n } es el módulo R libre con una base que consta de todas las palabras sobre el alfabeto { X 1 ,.. ., X n } (incluida la palabra vacía, que es la unidad del álgebra libre). Este módulo R se convierte en un álgebra R al definir una multiplicación de la siguiente manera: el producto de dos elementos básicos es el concatenación de las palabras correspondientes:
y el producto de dos elementos arbitrarios del módulo R se determina de forma única (porque la multiplicación en un álgebra R debe ser R bilineal). Esta R -álgebra se denota R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩. Esta construcción se puede generalizar fácilmente a un conjunto arbitrario X de indeterminados.
En resumen, para un conjunto arbitrario , el R - álgebra libre ( asociativa , unitaria ) en X es
con la multiplicación bilineal R que es concatenación de palabras, donde X * denota el monoide libre en X (es decir, palabras en las letras X i ), denota la suma directa externa , y Rw denota el módulo R libre en 1 elemento, el palabra w .
Por ejemplo, en R ⟨ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩, para escalares α, β, γ, δ ∈ R , un ejemplo concreto de producto de dos elementos es