En esas ramas de las matemáticas llamadas sistemas dinámicos y teoría ergódica , el concepto de conjunto errante formaliza una cierta idea de movimiento y mezcla en tales sistemas. Cuando un sistema dinámico tiene un conjunto errante de medida distinta de cero, entonces el sistema es un sistema disipativo . Esto es muy opuesto a un sistema conservador , para el cual se aplican las ideas del teorema de recurrencia de Poincaré . Intuitivamente, la conexión entre conjuntos errantes y disipación se comprende fácilmente: si una porción del espacio de fase"se aleja" durante la evolución temporal normal del sistema y nunca se vuelve a visitar, entonces el sistema es disipativo. El lenguaje de los conjuntos errantes se puede utilizar para dar una definición matemática precisa al concepto de sistema disipativo. La noción de conjuntos errantes en el espacio de fase fue introducida por Birkhoff en 1927. [ cita requerida ]
Puntos errantes
Una definición común de tiempo discreto de conjuntos errantes comienza con un mapa de un espacio topológico X . Un puntose dice que es un punto errante si hay una vecindad U de x y un entero positivo N tal que para todos, el mapa iterado no se cruza:
Una definición más práctica solo requiere que la intersección tenga medida cero . Para ser precisos, la definición requiere que X sea un espacio de medida , es decir, parte de un triplede conjuntos de Borel y una medida tal que
para todos . Del mismo modo, un sistema de tiempo continuo tendrá un mapadefinir la evolución temporal o el flujo del sistema, con el operador de evolución temporalsiendo una acción de grupo abeliano continuo de un parámetro en X :
En tal caso, un punto errante tendrá una vecindad U de x y un tiempo T tal que para todos los tiempos, el mapa evolucionado en el tiempo es de medida cero:
Estas definiciones más simples pueden generalizarse completamente a la acción de grupo de un grupo topológico . Dejarser un espacio de medida, es decir, un conjunto con una medida definida en sus subconjuntos de Borel . Dejarser un grupo actuando en ese set. Dado un punto, el conjunto
se llama trayectoria u órbita del punto x .
Un elemento se denomina punto errante si existe una vecindad U de x y una vecindad V de la identidad en tal que
para todos .
Puntos no errantes
Un punto sin deambular es lo contrario. En el caso discreto,es no errante si, para cada conjunto abierto U que contiene xy cada N > 0, hay algo de n > N tal que
Se siguen definiciones similares para las acciones grupales de tiempo continuo y discretas y continuas.
Conjuntos errantes y sistemas disipativos
Un conjunto errante es una colección de puntos errantes. Más precisamente, un subconjunto W dees un conjunto errante bajo la acción de un grupo discretosi W es medible y si, para cualquier la intersección
es un conjunto de medida cero.
El concepto de conjunto errante es, en cierto sentido, dual con las ideas expresadas en el teorema de recurrencia de Poincaré. Si existe un conjunto errante de medidas positivas, entonces la accin dese dice que es disipativo , y el sistema dinámico se dice que es un sistema disipativo . Si no existe tal conjunto errante, se dice que la acción es conservadora y el sistema es un sistema conservador . Por ejemplo, cualquier sistema para el que se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré no puede tener, por definición, un conjunto errante de medida positiva; y por tanto es un ejemplo de un sistema conservador.
Definir la trayectoria de un conjunto errante W como
La acción de se dice que es completamente disipativo si existe un conjunto errante W de medida positiva, tal que la órbita es casi en todas partes igual a, es decir, si
es un conjunto de medida cero.
La descomposición de Hopf establece que cada espacio de medida con una transformación no singular se puede descomponer en un conjunto conservador invariante y un conjunto errante invariante.
Ver también
Referencias
- Nicholls, Peter J. (1989). La teoría ergódica de los grupos discretos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
- Alexandre I. Danilenko y Cesar E. Silva (8 de abril de 2009). Teoría ergódica: transformaciones no singulares ; Consulte Arxiv arXiv: 0803.2424 .
- Krengel, Ulrich (1985), Teoremas ergódicos , De Gruyter Studies in Mathematics, 6 , de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3