Las teorías de conjuntos no bien fundadas son variantes de la teoría de conjuntos axiomática que permiten que los conjuntos sean elementos de sí mismos y, de lo contrario, violen la regla de la fundamentación . En teorías de conjuntos no bien fundadas, el axioma fundamental de ZFC se reemplaza por axiomas que implican su negación.
El estudio de conjuntos no bien fundados fue iniciado por Dmitry Mirimanoff en una serie de artículos entre 1917 y 1920, en los que formuló la distinción entre conjuntos bien fundados y no bien fundados; no consideró la fundamentación como un axioma . Aunque posteriormente se propusieron una serie de sistemas axiomáticos de conjuntos no bien fundados, no encontraron muchas aplicaciones hasta la teoría del hiperconjunto de Peter Aczel en 1988. [1] [2] [3] La teoría de los no -Los conjuntos bien fundados se han aplicado en el modelado lógico de procesos computacionales no terminados en informática ( álgebra de procesos ). y semántica final ), lingüística y semántica del lenguaje natural ( teoría de la situación ), filosofía (trabajo sobre la paradoja del mentiroso ), y en un escenario diferente, análisis no estándar . [4]
En ZFC, no hay una secuencia ∈ descendente infinita por el axioma de regularidad . De hecho, el axioma de regularidad a menudo se denomina axioma fundamental , ya que se puede demostrar dentro de ZFC − (es decir, ZFC sin el axioma de regularidad) que la fundamentación implica regularidad. En variantes de ZFC sin el axioma de regularidad , surge la posibilidad de conjuntos no bien fundados con cadenas ∈ tipo conjunto. Por ejemplo, un conjunto A tal que A ∈ A no está bien fundado.
Aunque Mirimanoff también introdujo una noción de isomorfismo entre conjuntos posiblemente no bien fundados, no consideró ni un axioma de fundamento ni de antifundamento. [7] En 1926, Paul Finsler introdujo el primer axioma que permitía conjuntos no bien fundados. Después de que Zermelo adoptara Foundation en su propio sistema en 1930 (del trabajo anterior de von Neumann 1925-1929), el interés por los conjuntos no bien fundados disminuyó durante décadas. [9] Una de las primeras teorías de conjuntos no bien fundadas fue New Foundations de Willard Van Orman Quine , aunque no es simplemente ZF con un reemplazo de Foundation.
Varias pruebas de la independencia de Foundation del resto de ZF fueron publicadas en la década de 1950, particularmente por Paul Bernays (1954), luego de un anuncio del resultado en un artículo anterior suyo de 1941, y por Ernst Specker , quien dio una prueba diferente en su Habilitationsschrift de 1951, demostración que se publicó en 1957. Luego, en 1957 , se publicó el teorema de Rieger , que dio un método general para llevar a cabo dicha demostración, reavivando cierto interés por los sistemas axiomáticos no bien fundamentados. [10] La siguiente propuesta de axioma se produjo en una charla de congreso de 1960 de Dana Scott (nunca publicada como artículo), proponiendo un axioma alternativo ahora llamado SAFA . [11]Otro axioma propuesto a fines de la década de 1960 fue el axioma de superuniversalidad de Maurice Boffa , descrito por Aczel como el punto culminante de la investigación de su década. [12] La idea de Boffa era hacer que la base fallara tanto como pudiera (o más bien, como lo permitiera la extensionalidad): el axioma de Boffa implica que toda relación extensional de tipo conjunto es isomorfa al predicado de elementalidad en una clase transitiva.
Un enfoque más reciente de la teoría de conjuntos no bien fundada, iniciado por M. Forti y F. Honsell en la década de 1980, toma prestado de la informática el concepto de bisimulación . Los conjuntos bisimilares se consideran indistinguibles y, por lo tanto, iguales, lo que conduce a un fortalecimiento del axioma de extensionalidad . En este contexto, los axiomas que contradicen el axioma de regularidad se conocen como axiomas antifundamentación , y un conjunto que no está necesariamente bien fundado se llama hiperconjunto .