Conjunto errante

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En aquellas ramas de las matemáticas denominadas sistemas dinámicos y teoría ergódica , el concepto de conjunto errante formaliza una cierta idea de movimiento y mezcla en tales sistemas. Cuando un sistema dinámico tiene un conjunto errante de medida distinta de cero, entonces el sistema es un sistema disipativo . Esto es muy opuesto a un sistema conservador , para el cual se aplican las ideas del teorema de recurrencia de Poincaré . Intuitivamente, la conexión entre los conjuntos errantes y la disipación se entiende fácilmente: si una parte del espacio de fase"se aleja" durante la evolución temporal normal del sistema, y ​​nunca se vuelve a visitar, entonces el sistema es disipativo. El lenguaje de los conjuntos errantes se puede utilizar para dar una definición matemática precisa al concepto de un sistema disipativo. Birkhoff introdujo la noción de conjuntos errantes en el espacio de fases en 1927. ^{[ cita requerida ]}

Una definición común de tiempo discreto de conjuntos errantes comienza con un mapa de un espacio topológico X . Se dice que un punto es un punto errante si hay una vecindad U de x y un entero positivo N tal que para todo , el mapa iterado no se interseca:${\ estilo de visualización f: X \ a X}$ ${\ estilo de visualización x \ en X}$ ${\ estilo de visualización n> N}$

Una definición más práctica requiere solo que la intersección tenga la medida cero . Para ser precisos, la definición requiere que X sea un espacio de medida , es decir, parte de un triple de conjuntos de Borel y una medida tal que${\ estilo de visualización (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma}$${\ estilo de visualización \ mu}$

para todos De manera similar, un sistema de tiempo continuo tendrá un mapa que define la evolución o el flujo del sistema en el tiempo, siendo el operador de evolución en el tiempo una acción grupal abeliana continua de un parámetro en X :${\ estilo de visualización n> N}$${\ estilo de visualización \ varphi _ {t}: X \ a X}$${\ estilo de visualización \ varphi}$

En tal caso, un punto errante tendrá una vecindad U de x y un tiempo T tal que para todos los tiempos , el mapa de evolución temporal es de medida cero:${\ estilo de visualización x \ en X}$${\ estilo de visualización t> T}$

Estas definiciones más simples pueden generalizarse completamente a la acción de grupo de un grupo topológico . Sea un espacio de medida, es decir, un conjunto con una medida definida en sus subconjuntos de Borel . Sea un grupo actuando en ese conjunto. Dado un punto , el conjunto${\ estilo de visualización \ Omega = (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ estilo de visualización \ gamma}$${\ estilo de visualización x \ en \ Omega}$

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