norma ideal

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En álgebra conmutativa , la norma de un ideal es una generalización de una norma de un elemento en la extensión del campo . Es particularmente importante en teoría de números ya que mide el tamaño de un ideal de un anillo numérico complicado en términos de un ideal en un anillo menos complicado . Cuando el anillo numérico menos complicado se toma como el anillo de números enteros , Z , entonces la norma de un ideal distinto de cero I de un anillo numérico R es simplemente el tamaño del anillo cociente finito R / I.

Sea A un dominio de Dedekind con campo de fracciones K y clausura integral de B en una extensión separable finita L de K . (esto implica que B también es un dominio de Dedekind). Sean y los grupos ideales de A y B , respectivamente (es decir, los conjuntos de ideales fraccionarios distintos de cero ). Siguiendo la técnica desarrollada por Jean-Pierre Serre , el mapa de normas${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$

para todos los ideales primos distintos de cero de B , donde está el ideal primo de A que se encuentra debajo .${\displaystyle {\mathfrak{q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak{q}}}$

Alternativamente, cualquiera puede definir equivalentemente que sea el ideal fraccionario de A generado por el conjunto de normas de campo de elementos de B . ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak{b}})}$${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$

Porque , uno tiene , donde .${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$${\ estilo de visualización n = [L: K]}$

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