En matemáticas, la convergencia normal es un tipo de convergencia para series de funciones . Como la convergencia absoluta , tiene la útil propiedad de que se conserva cuando se cambia el orden de suma.
Historia
El concepto de convergencia normal fue introducido por primera vez por René Baire en 1908 en su libro Leçons sur les théories générales de l'analyse .
Definición
Dado un conjunto S y funciones(oa cualquier espacio vectorial normado ), la serie
se llama normalmente convergente si la serie de normas uniformes de los términos de la serie converge, [1] es decir,
Distinciones
La convergencia normal implica, pero no debe confundirse con, una convergencia absoluta uniforme , es decir, una convergencia uniforme de la serie de funciones no negativas.. Para ilustrar esto, considere
Entonces la serie es uniformemente convergente (para cualquier ε, tome n ≥ 1 / ε ), pero la serie de normas uniformes es la serie armónica y, por lo tanto, diverge. Se puede hacer un ejemplo de uso de funciones continuas reemplazando estas funciones con funciones de relieve de altura 1 / ny ancho 1 centradas en cada número natural n .
Además, la convergencia normal de una serie es diferente de la convergencia norma-topología , es decir, la convergencia de la secuencia de suma parcial en la topología inducida por la norma uniforme. La convergencia normal implica la convergencia norma-topología si y solo si el espacio de funciones en consideración es completo con respecto a la norma uniforme. (Lo contrario no es válido incluso para espacios funcionales completos: por ejemplo, considere la serie armónica como una secuencia de funciones constantes).
Generalizaciones
Convergencia local normal
Una serie se puede llamar "localmente normalmente convergente en X " si cada punto x en X tiene una vecindad U tal que la serie de funciones ƒ n restringida al dominio U
es normalmente convergente, es decir, tal que
donde la norma es el supremo sobre el dominio T .
Convergencia normal compacta
Se dice que una serie es "normalmente convergente en subconjuntos compactos de X " o "compacta normalmente convergente en X " si para cada subconjunto compacto K de X , la serie de funciones ƒ n restringida a K
normalmente es convergente en K .
Nota : si X es localmente compacto (incluso en el sentido más débil), la convergencia normal local y la convergencia normal compacta son equivalentes.
Propiedades
- Toda serie convergente normal es uniformemente convergente, localmente uniformemente convergente y compacta uniformemente convergente. Esto es muy importante, ya que asegura que cualquier reordenamiento de la serie, cualquier derivada o integral de la serie, y sumas y productos con otras series convergentes convergerán al valor "correcto".
- Si es normalmente convergente a , entonces cualquier reordenamiento de la secuencia ( ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ...) también converge normalmente a la misma ƒ . Es decir, por cada biyección , es normalmente convergente a .
Ver también
Referencias
- ^ Solomentsev, ED (2001) [1994], "Convergencia normal" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , ISBN 1402006098