En álgebra abstracta , la teoría de campos carece de un producto directo : el producto directo de dos campos, considerados como un anillo , nunca es en sí mismo un campo. No obstante, a menudo se requiere "unir" dos campos K y L , ya sea en los casos en que K y L se dan como subcampos de un campo más grande M , o cuando K y L son extensiones de campo de un campo más pequeño N (por ejemplo un campo principal ).
El producto tensorial de campos es la mejor construcción disponible sobre campos con la que discutir todos los fenómenos que surgen. Como anillo, a veces es un campo y, a menudo, un producto directo de los campos; sin embargo, puede contener nilpotentes distintos de cero (ver radical de un anillo ).
Si K y L no tienen campos principales isomorfas, o en otras palabras que tienen diferentes características , no tienen ninguna posibilidad de ser sub-campos comunes de un campo M . En consecuencia, su producto tensorial será en ese caso el anillo trivial (colapso de la construcción a nada de interés).
Compositum de campos
Primero, se define la noción de composición de campos. Esta construcción ocurre con frecuencia en la teoría de campos . La idea detrás del compositum es hacer que el campo más pequeño contenga otros dos campos. Para definir formalmente el compositum, primero se debe especificar una torre de campos . Sea k un campo y L y K dos extensiones de k . El compositum, denotado KL, se define comodonde el lado derecho indica la extensión generada por K y L . Tenga en cuenta que esto supone algún campo que contiene tanto K y L . O se comienza en una situación en la que un campo ambiental es fácil de identificar (por ejemplo, si K y L son ambos subcampos de los números complejos), o se demuestra un resultado que permite colocar tanto K como L (como copias isomórficas) en algún campo lo suficientemente grande.
En muchos casos se puede identificar K . L como un espacio vectorial producto tensorial , tomada sobre el campo N que es la intersección de K y L . Por ejemplo, si uno colinda √2 a la ℚ campo racional para obtener K , y √3 para obtener L , es cierto que el campo M obtuvo como K . L dentro de los números complejos ℂ es ( hasta isomorfismo)
como un espacio vectorial sobre ℚ. (Este tipo de resultado se puede verificar, en general, utilizando la teoría de ramificación de la teoría algebraica de números ).
Los subcampos K y L de M son linealmente disjuntos (sobre un subcampo N ) cuando de esta manera el mapa lineal N natural de
a K . L es inyectiva . [1] Naturalmente esto no siempre es el caso, por ejemplo, cuando K = L . Cuando los grados son finitos, inyectivo equivale aquí a biyectivo . Por tanto, cuando K y L son campos de extensión de grado finito disjuntos linealmente sobre N ,, al igual que con las extensiones de los racionales antes mencionadas.
Un caso significativo en la teoría de campos ciclotómicos es que para el n º raíces de la unidad , para n un número compuesto, los subcampos generados por el p k ésimo raíces de la unidad para potencias primos dividiendo n son disjuntos linealmente para distinta p . [2]
El producto tensorial como anillo
Para obtener una teoría general, es necesario considerar una estructura de anillo en . Se puede definir el producto ser - estar (ver producto tensorial de álgebras ). Esta fórmula es multilineal sobre N en cada variable; y así define una estructura de anillo en el producto tensor, haciendoen un N- álgebra conmutativa , llamado producto tensorial de campos .
Análisis de la estructura del anillo
La estructura del anillo puede ser analizado teniendo en cuenta todas las formas de incrustación tanto K y L en alguna extensión campo de la N . Tenga en cuenta que la construcción aquí asume el subcampo común N ; pero no asume a priori que K y L son subcampos de algún campo M (evitando así las advertencias sobre la construcción de un campo compositum). Siempre que uno incrusta K y L en tal campo M , digamos usando incrustaciones α de K y β de L , se produce un homomorfismo de anillo γ deen M definido por:
El núcleo de γ será un ideal primo del producto tensorial; y por el contrario cualquier ideal primo del producto tensor dará un homomorfismo de N -álgebras a un dominio de integridad (dentro de un campo de fracciones ) y así proporciona incrustaciones de K y L en algún campo como extensiones de (una copia de) N .
De esta forma se puede analizar la estructura de : Puede ser en principio un no-cero nilradical (intersección de todos los ideales primos) - y después de tomar el cociente por que se puede hablar de que el producto de todas las incrustaciones de K y L en varios M , más de N .
En caso de que K y L sean extensiones finitas de N, la situación es particularmente simple ya que el producto del tensor es de dimensión finita como un N -álgebra (y por lo tanto un anillo artiniano ). Entonces se puede decir que si R es el radical, se tienecomo un producto directo de un número finito de campos. Cada uno de tales campo es un representante de una clase de equivalencia de incrustaciones de campo (esencialmente distinta) para K y L en alguna extensión M .
Ejemplos de
Por ejemplo, si K se genera sobre ℚ por la raíz cúbica de 2, entonceses el producto de (una copia de) K , y un campo de división de
- X 3 - 2,
de grado 6 sobre ℚ. Se puede probar esto calculando la dimensión del producto tensorial sobre ℚ como 9, y observando que el campo de división contiene dos (de hecho tres) copias de K , y es la composición de dos de ellas. Por cierto, eso muestra que R = {0} en este caso.
Un ejemplo que conduce a un nilpotente distinto de cero: deje
- P ( X ) = X p - T
con K el campo de funciones racionales en el T indeterminado sobre el campo finito con p elementos. (Ver polinomio separable : el punto aquí es que P no es separable). Si L es la extensión de campo K ( T 1 / p ) (el campo de división de P ), entonces L / K es un ejemplo de una extensión de campo puramente inseparable . En el elemento
es nilpotente: tomando su p- ésima potencia se obtiene 0 usando K -linealidad.
Teoría clásica de incrustaciones reales y complejas
En la teoría algebraica de números , los productos tensoriales de campos son (implícitamente, a menudo) una herramienta básica. Si K es una extensión de ℚ de grado finito n ,es siempre un producto de campos isomorfos a ℝ o ℂ. Los campos numéricos totalmente reales son aquellos para los que solo se producen campos reales: en general, hay r 1 campos reales y r 2 complejos, con r 1 + 2 r 2 = n como se ve al contar dimensiones. Los factores de campo están en correspondencia 1–1 con las incrustaciones reales y los pares de incrustaciones conjugadas complejas , descritas en la literatura clásica.
Esta idea se aplica también a donde ℚ p es el campo de p -números ádicos . Este es un producto de extensiones finitas de ℚ p , en correspondencia 1–1 con las terminaciones de K para extensiones de la métrica p -ádica en ℚ.
Consecuencias para la teoría de Galois
Esto da una imagen general y, de hecho, una forma de desarrollar la teoría de Galois (según las líneas explotadas en la teoría de Galois de Grothendieck ). Se puede demostrar que para extensiones separables, el radical siempre es {0}; por lo tanto, el caso de la teoría de Galois es el semisimple , de productos de campos solamente.
Ver también
- Extensión de escalares : producto de tensión de una extensión de campo y un espacio vectorial sobre ese campo.
Notas
- ^ "Extensiones linealmente disjuntas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ "Campo ciclotómico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Referencias
- "Compositum of field extensions" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Kempf, George R. (2012) [1995]. "9.2 Descomposición de productos tensoriales de campos" . Estructuras algebraicas . Saltador. págs. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1.
- Milne, JS (18 de marzo de 2017). Teoría algebraica de números (PDF) . pag. 17. 3.07.
- Stein, William (2004). "Una breve introducción a la teoría de números algebraica clásica y adelica" (PDF) . págs. 140-2.
- Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Conmutativa álgebra I . Textos de Posgrado en Matemáticas. 28 . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6. Señor 0090581 .
enlaces externos
- Hilo MathOverflow en la definición de disjunción lineal