En matemáticas, los operadores nucleares son una clase importante de operadores lineales presentados por Alexander Grothendieck en su tesis doctoral. Los operadores nucleares están íntimamente ligados al producto tensorial proyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (TVS).
Preliminares y notación
Deje que X , Y y Z sean espacios vectoriales topológicos (TVS) y L : X → Y sea un operador lineal (no se asume la continuidad a menos que se indique lo contrario).
- El producto del tensor proyectivo de dos TVS localmente convexos X e Y se denota por y la finalización de este espacio será denotada por .
- L : X → Y es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo yes un mapa abierto , donde, La imagen de L , tiene la topología del subespacio inducida por Y .
- Si S es un subespacio de X, entonces tanto el mapa de cocientes X → X / S como la inyección canónica S → X son homomorfismos.
- El conjunto de mapas lineales continuos X → Z (resp. Mapas bilineales continuos) será denotado por L ( X , Z ) (resp. B ( X , Y ; Z )) donde si Z es el campo escalar subyacente, entonces podemos escribir L ( X ) (resp. B ( X , Y )) .
- Cualquier mapa lineal se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: dónde define una biyección llamado la biyección canónica asociada con L .
- X * odenotará el espacio dual continua de X .
- Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir elementos de con un primo después del símbolo (p. ej. denota un elemento de y no, digamos, una derivada y las variables x y no necesita estar relacionado de ninguna manera).
- denotará el espacio dual algebraico de X (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en X , sean continuos o no).
- Un mapa lineal L : H → H desde un espacio de Hilbert en sí mismo se llama positivo si para cada . En este caso, hay un mapa positivo único r : H → H , llamado raíz cuadrada de L , tal que. [1]
- Si es cualquier mapa lineal continuo entre espacios de Hilbert, entonces siempre es positivo. Ahora vamos R : H → H denotan su raíz cuadrada positiva, que se llama el valor absoluto de L . Definir primero en configurando por y extendiendo continuamente a , y luego defina U en configurando por y extender este mapa linealmente a todos los . El mapa es una isometría sobreyectiva y .
- Un mapa lineal se llama compacto o completamente continuo si hay una vecindad U del origen en X tal quees precompacto en Y . [2]
En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, digamos L : H → H tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz: [3]
Hay una secuencia de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, y una secuencia de subespacios de dimensión finita distintos de cero de H (i = 1, 2,) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios son ortogonales por pares; (2) para cada iy cada, ; y (3) la ortogonal del subespacio abarcado pores igual a la del núcleo de L . [3]
Notación para topologías
- σ (X, X ′) denota la topología más burda en X haciendo que cada mapa en X ′ sea continuo y o denota X dotado de esta topología .
- σ (X ′, X) denota topología débil- * en X * y o denota X ′ dotado de esta topología .
- Tenga en cuenta que cada induce un mapa definido por . σ (X ′, X) es la topología más burda de X ′, lo que hace que todos estos mapas sean continuos.
- b (X, X ′) denota la topología de convergencia acotada en X y o denota X dotado de esta topología .
- b (X ′, X) denota la topología de convergencia acotada en X ′ o la topología dual fuerte en X ′ y o denota X ′ dotado de esta topología .
- Como es habitual, si X * se considera un espacio vectorial topológico pero no se ha aclarado con qué topología está dotado, se supondrá que la topología es b (X ′, X).
Un producto tensorial canónico como subespacio del dual de Bi (X, Y)
Sean X e Y espacios vectoriales (todavía no se necesita topología) y sean Bi ( X , Y ) el espacio de todos los mapas bilineales definidos en y entrando en el campo escalar subyacente.
Para cada , dejar ser la forma lineal canónica en Bi ( X , Y ) definida porpara cada u ∈ Bi ( X , Y ). Esto induce un mapa canónico definido por , dónde denota el dual algebraico de Bi ( X , Y ). Si denotamos el intervalo del rango de 𝜒 por X ⊗ Y, entonces se puede demostrar que X ⊗ Y junto con 𝜒 forma un producto tensorial de X e Y (donde x ⊗ y: = 𝜒 ( x , y )). Esto nos da un producto de tensor canónica de X e Y .
Si Z es cualquier otro espacio vectorial, entonces el mapeo Li ( X ⊗ Y ; Z ) → Bi ( X , Y ; Z ) dado por u ↦ u ∘ 𝜒 es un isomorfismo de espacios vectoriales. En particular, esto nos permite identificar la algebraica doble de X ⊗ Y con el espacio de formas bilineales sobre X × Y . [4] Además, si X e Y son espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS) y si X ⊗ Y se le da la topología 𝜋, entonces para cada TVS Z localmente convexo , este mapa se restringe a un isomorfismo de espacio vectorialdesde el espacio de las asignaciones lineales continuas al espacio de las asignaciones bilineales continuas . [5] En particular, el dual continuo de X ⊗ Y puede identificarse canónicamente con el espacio B ( X , Y ) de formas bilineales continuas en X × Y ; Además, bajo esta identificación los subconjuntos equicontinuos de B ( X , Y ) son los mismos que los subconjuntos equicontinuos de. [5]
Operadores nucleares entre espacios de Banach
Hay una incrustación de espacio vectorial canónico definido enviando al mapa
Suponiendo que X e Y son espacios de Banach, entonces el mapa tiene norma (ver que la norma es , tenga en cuenta que así que eso ). Por lo tanto, tiene una extensión continua a un mapa., donde se sabe que este mapa no es necesariamente inyectivo. [6] El rango de este mapa se denota pory sus elementos se denominan operadores nucleares . [7] es TVS-isomorfo a y la norma en este espacio cociente, cuando se transfiere a elementos de a través del mapa inducido , se llama la norma de seguimiento y se denota por. Explícitamente, [¿se necesita una aclaración explícita o especialmente? ] si es un operador nuclear entonces .
Caracterización
Suponga que X e Y son espacios de Banach y que es un operador lineal continuo.
- Los siguientes son equivalentes:
- es nuclear.
- Existe una secuencia en la unidad cerrada bola de , una secuencia en la unidad cerrada bola de y una secuencia compleja tal que y es igual a la asignación: [8] para todos . Además, la norma de seguimiento es igual al mínimo de los números sobre el conjunto de todas las representaciones de como tal serie. [8]
- Si Y es reflexivo entonces es nuclear si y solo si es nuclear, en cuyo caso . [9]
Propiedades
Sean X e Y espacios de Banach y sean ser un operador lineal continuo.
- Si es un mapa nuclear entonces su transposición es un mapa nuclear continuo (cuando los espacios duales llevan sus fuertes topologías duales) y . [10]
Operadores nucleares entre espacios de Hilbert
Los automorfismos nucleares de un espacio de Hilbert se denominan operadores de clase de rastreo .
Sean X e Y espacios de Hilbert y sea N : X → Y un mapa lineal continuo. Suponer quedonde R : X → X es la raíz cuadrada dey U : X → Y es tal que es una isometría sobreyectiva y . Entonces N es un mapa nuclear si y solo si R es un mapa nuclear; por tanto, para estudiar mapas nucleares entre espacios de Hilbert basta con limitar la atención a los operadores lineales positivos. [10]
Caracterizaciones
Deje que X y Y sean espacios de Hilbert y dejar N : X → Y sea un mapa lineal continua cuyo valor absoluto es R : X → X . Los siguientes son equivalentes:
- N : X → Y es nuclear.
- R : X → X es nuclear. [11]
- R : X → X es compacto y es finito, en cuyo caso . [11]
- Aquí, es la traza de R y se define de la siguiente manera: Dado que R es un operador positivo compacto continuo, existe una secuencia (posiblemente finita) de números positivos con los correspondientes espacios vectoriales no triviales de dimensión finita y mutuamente ortogonales tal que la ortogonal (en H ) de es igual a (y por lo tanto también a ) y para todos los k , para todos ; la traza se define como.
- es nuclear, en cuyo caso . [9]
- Hay dos secuencias ortogonales en X yen Y , y una secuencia en tal que para todos , . [11]
- N : X → Y 'es un mapa integral . [12]
Operadores nucleares entre espacios localmente convexos
Suponga que U es una vecindad cerrada balanceada convexa del origen en X y que B es un disco de Banach acotado balanceado convexo en Y con espacios localmente convexos tanto en X como en Y. Dejar y deja ser la proyección canónica. Se puede definir el espacio auxiliar de Banach con el mapa canónico cuya imagen, , es denso en así como el espacio auxiliar normado por y con un mapa canónico siendo la inyección canónica (continua). Dado cualquier mapa lineal continuo se obtiene a través de la composición el mapa lineal continuo ; así tenemos una inyección y de ahora en adelante usamos este mapa para identificar como un subespacio de . [7]
Definición : Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff. La unión de todoscomo U varía sobre todas las vecindades equilibradas convexas cerradas del origen en X y B varía sobre todos los discos de Banach delimitados en Y , se denota pory sus elementos son llamar asignaciones nucleares de X en Y . [7]
Cuando X e Y son espacios de Banach, entonces esta nueva definición de mapeo nuclear es consistente con la original dada para el caso especial donde X e Y son espacios de Banach.
Condiciones suficientes para la nuclearidad
- Sean W , X , Y y Z espacios localmente convexos de Hausdorff, un mapa nuclear, y y Ser mapas lineales continuos. Luego, , y son nucleares y si además W , X , Y y Z son todos espacios de Banach, entonces. [13] [14]
- Si es un mapa nuclear entre dos espacios localmente convexos de Hausdorff, entonces su transposición es un mapa nuclear continuo (cuando los espacios duales llevan sus fuertes topologías duales). [2]
- Si además X e Y son espacios de Banach, entonces. [9]
- Si es un mapa nuclear entre dos espacios localmente convexos de Hausdorff y si es una terminación de X , entonces la extensión continua únicade N es nuclear. [14]
Caracterizaciones
Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff y sean ser un operador lineal continuo.
- Los siguientes son equivalentes:
- es nuclear.
- (Definición) Existe una vecindad U convexa balanceada del origen en X y un disco de Banach acotado B en Y tal que y el mapa inducido es nuclear, donde es la única extensión continua de , que es el mapa único que satisface dónde es la inclusión natural y es la proyección canónica. [6]
- Existen espacios Banach y y mapas lineales continuos , , y tal que es nuclear y . [8]
- Existe una secuencia equicontinua en , un disco de Banach acotado , una secuencia en B , y una secuencia compleja tal que y es igual a la asignación: [8] para todos .
- Si X es cañón e Y es casi completo , entonces N es nuclear si y solo si N tiene una representación de la forma con limitado en , acotado en Y y. [8]
Propiedades
El siguiente es un tipo de teorema de Hahn-Banach para extender mapas nucleares:
- Si es una incrustación de TVS y es un mapa nuclear, entonces existe un mapa nuclear tal que . Además, cuando X e Y son espacios de Banach y E es una isometría, entonces para cualquier, puede ser elegido para que . [15]
- Suponer que es una incrustación de TVS cuya imagen se cierra en Z y dejaser la proyección canónica. Supongamos que todos los discos compactos de es la imagen debajo de un disco de Banach acotado en Z (esto es cierto, por ejemplo, si X y Z son ambos espacios de Fréchet, o si Z es el dual fuerte de un espacio de Fréchet yestá débilmente cerrado en Z ). Luego, para cada mapa nuclear existe un mapa nuclear tal que .
- Además, cuando X y Z son espacios de Banach y E es una isometría, entonces para cualquier, puede ser elegido para que . [15]
Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff y sean ser un operador lineal continuo.
- Cualquier mapa nuclear es compacto. [2]
- Para cada topología de convergencia uniforme en , los mapas nucleares están contenidos en el cierre de (Cuándo se ve como un subespacio de ). [6]
Ver también
- Espacios auxiliares normativos
- Topología inicial: topología más aproximada que hace que ciertas funciones sean continuas
- Producto tensor inductivo
- Producto tensor inyectivo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Operadores nucleares entre espacios de Banach
- Espacio nuclear : una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferente de los espacios de Hilbert
- Producto tensorial proyectivo
- Producto tensorial de los espacios de Hilbert : espacio de producto tensorial dotado de un producto interior especial
- Producto de tensor topológico : construcciones de productos de tensor para espacios vectoriales topológicos
- Clase de seguimiento
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
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- ↑ a b c Trèves , 2006 , p. 483.
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 490.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 92.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 93.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , p. 98.
- ↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 478-479.
- ↑ a b c d e Trèves , 2006 , págs. 481-483.
- ↑ a b c Trèves , 2006 , p. 484.
- ↑ a b Trèves , 2006 , págs. 483-484.
- ↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 492-494.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 502-508.
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- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 100.
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 485.
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enlaces externos
- Espacio nuclear en ncatlab