En el análisis funcional , un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si no surgirá confusión) es el análogo de los homomorfismos para la categoría de espacios vectoriales topológicos (TVS). Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el famoso teorema de mapeo abierto proporciona una condición suficiente para que un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.
Definiciones
Un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si no surgirá confusión) es un mapa lineal continuo entre espacios vectoriales topológicos (TVS) de modo que el mapa inducidoes un mapeo abierto cuandocual es la imagen dese le da la topología subespacial inducida por[1] Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el famoso teorema de mapeo abierto da una condición suficiente para que un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.
Una incrustación de TVSo un monomorfismo topológico [2] es un homomorfismo topológico inyectivo . De manera equivalente, una incrustación de TVS es un mapa lineal que también es una incrustación topológica .
Caracterizaciones
Suponer que es un mapa lineal entre televisores y tenga en cuenta que se puede descomponer en la composición de los siguientes mapas lineales canónicos:
dónde es el mapa del cociente canónico yes el mapa de inclusión .
Los siguientes son equivalentes:
- es un homomorfismo topológico;
- para cada base de vecindario del origen en es una base vecinal del origen en ; [1]
- el mapa inducido es un isomorfismo de TVS. [1]
Si además la gama de es un espacio de Hausdorff de dimensión finita, entonces los siguientes son equivalentes:
Condiciones suficientes
Teorema [1] - Seaser un mapa lineal continuo sobreyectivo de un espacio LF en un televisor Si es también un espacio LF o sies un espacio de Fréchet entonces es un homomorfismo topológico.
Teorema [3] : supongaser un operador lineal continuo entre dos TVS de Hausdorff. Si es un subespacio vectorial denso de y si la restricción a es un homomorfismo topológico entonces es también un homomorfismo topológico. [3]
Así que si y son terminaciones de Hausdorff de y respectivamente, y si es un homomorfismo topológico, entonces extensión lineal continua única es un homomorfismo topológico. (Sin embargo, es posible ser sobreyectivo pero por para no ser inyectable.)
Teorema de mapeo abierto
El teorema de mapeo abierto , también conocido como teorema de homomorfismo de Banach , da una condición suficiente para que un operador lineal continuo entre TVS metrizables completos sea un homomorfismo topológico.
Teorema [4] - Seaser un mapa lineal continuo entre dos televisores metrizables completos. Si cual es el rango de es un subconjunto denso de entonces tambien es escasa (es decir, de la primera categoría ) en si no es un homomorfismo topológico suprayectivo. En particular, es un homomorfismo topológico si y solo si es un subconjunto cerrado de
Corolario [4] - Sea y ser topologías de TVS en un espacio vectorial tal que cada topología hace en televisores completamente metrizables . Si alguno o luego
Corolario [4] - Sies un completo TVS metrizable , y son dos subespacios vectoriales cerrados de y si es la suma directa algebraica de y (es decir, la suma directa en la categoría de espacios vectoriales), entonces es la suma directa de y en la categoría de espacios vectoriales topológicos.
Ejemplos de
Cada funcional lineal continuo en un TVS es un homomorfismo topológico. [1]
Dejar ser un -TVS dimensionales sobre el campo y deja ser distinto de cero. Dejar ser definido por Si tiene su topología euclidiana habitual y sies Hausdorff entonces es un isomorfismo TVS.
Ver también
- Homomorfismo : mapa que conserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo
- Mapeo abierto
- Sobreyección de espacios de Fréchet - Un teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
- ↑ a b c d e f g h Schaefer y Wolff 1999 , págs. 74–78.
- ↑ Köthe , 1969 , p. 91.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 116.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , p. 78.
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