Homotopía

En topología , una rama de las matemáticas , dos funciones continuas de un espacio topológico a otro se denominan homotópicas (del griego antiguo : ὁμός homós "igual, similar" y τόπος tópos "lugar") si una se puede "deformar continuamente" en la otra. , denominándose tal deformación una homotopía entre las dos funciones. Un uso notable de la homotopía es la definición de grupos de homotopía y grupos de cohomotopía , invariantes importantes en la topología algebraica . ^[1]

En la práctica, existen dificultades técnicas para utilizar homotopías con determinados espacios. Algebraic topologists trabajo con espacios generados de forma compacta , complejos de CW , o espectros .

Formalmente, un homotopy entre dos funciones continuas f y g de un espacio topológico X a un espacio topológico Y se define para ser una función continua de la del producto del espacio X con el intervalo de la unidad [0, 1] para Y de tal manera que y para todo . ${\ Displaystyle H: X \ times [0,1] \ to Y}$${\ Displaystyle H (x, 0) = f (x)}$${\ Displaystyle H (x, 1) = g (x)}$${\ Displaystyle x \ in X}$

Si pensamos en el segundo parámetro de H como tiempo, entonces H describe una deformación continua de f en g : en el tiempo 0 tenemos la función f y en el tiempo 1 tenemos la función g . También podemos pensar en el segundo parámetro como un "control deslizante" que nos permite sin problemas la transición de f a g como la corredera se mueve de 0 a 1, y viceversa.

Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas es una familia de funciones continuas para tal que y , y el mapa es continuo de a . Las dos versiones coinciden por ambientación . No es suficiente exigir que cada mapa sea ​​continuo. ^[2]${\ Displaystyle f, g: X \ to Y}$${\ Displaystyle h_ {t}: X \ a Y}$${\ Displaystyle t \ in [0,1]}$${\ Displaystyle h_ {0} = f}$${\ Displaystyle h_ {1} = g}$ ${\ Displaystyle (x, t) \ mapsto h_ {t} (x)}$${\ Displaystyle X \ times [0,1]}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle h_ {t} (x) = H (x, t)}$${\ Displaystyle h_ {t} (x)}$

Los dos caminos de trazos que se muestran arriba son homotópicos en relación con sus puntos finales. La animación representa una posible homotopía.

Una homotopía entre dos incrustaciones del toro en R ³ : como "la superficie de una rosquilla" y como "la superficie de una taza de café". Este también es un ejemplo de isotopía .

El nudo no es equivalente al nudo trébol ya que uno no puede deformarse en el otro a través de un camino continuo de homeomorfismos del espacio ambiental. Por tanto, no son isotópicos ambientales.