Sobre el equilibrio de los planos ( griego : Περὶ ἐπιπέδων ἱσορροπιῶν ) es un tratado de Arquímedes en dos volúmenes. El primer libro establece la ley de la palanca y ubica el centro de gravedad del triángulo y el trapezoide . [1] [2] Según Pappus de Alejandría ,el trabajo de Arquímedes en las palancas le hizo comentar: "Dame un lugar para pararme y moveré la Tierra". ( Griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ). [3]El segundo libro, que contiene diez proposiciones, examina los centros de gravedad de los segmentos parabólicos. [1]
Estructura del texto
El libro uno contiene quince proposiciones con siete postulados. En la proposición seis, Arquímedes establece la ley de la palanca , concluyendo que "las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos". En las proposiciones diez y catorce, respectivamente, Arquímedes ubica el centro de gravedad del paralelogramo y el triángulo . Además, en la proposición 15, establece el centro de gravedad del trapecio . El segundo libro, que contiene diez proposiciones, estudia exclusivamente los segmentos parabólicos. Examina estos segmentos sustituyéndolos por rectángulos de igual área; un intercambio hecho posible por los resultados obtenidos en La cuadratura de la parábola . [1] [2]
Teorema principal
La prueba de Arquímedes de la ley de la palanca se ejecuta dentro de la proposición seis. Es sólo para magnitudes conmensurables y se basa en las proposiciones cuatro y cinco y en el postulado uno. [2]
Introducción
En un postulado, Arquímedes afirma que "pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio" (es decir, un peso igual a cada lado del brazo de palanca). En las proposiciones cuatro y cinco, amplía esta observación para incluir el concepto de centro de gravedad ; donde está comprobado que el centro de gravedad de cualquier sistema que consista en un número par de pesos iguales, igualmente distribuidos, estará ubicado en el punto medio entre los dos pesos centrales (introduciendo así múltiples pesos a cada lado del brazo de palanca).
Declaración
Dados dos pesos desiguales, pero conmensurables, y un brazo de palanca dividido en dos porciones desiguales, pero conmensurables, (ver dibujo al lado), la proposición seis establece simplemente que si las magnitudes A y B se aplican en los puntos E y D, respectivamente, el sistema será estar en equilibrio si los pesos son inversamente proporcionales a las longitudes:
Prueba
Por lo tanto, suponga que las líneas y los pesos se construyen para obedecer la regla utilizando una medida (o unidad) común N, y en una proporción de cuatro a tres (según el esquema). Ahora, duplique la longitud de ED duplicando el brazo más largo a la izquierda y el brazo más corto a la derecha.
Por el bien de la demostración, reordene las líneas de modo que CD esté adyacente a LE (las dos líneas rojas juntas), y yuxtaponga con el original (como se muestra a continuación):
Es claro entonces, que ambas líneas son el doble de la línea original ED, que LH tiene su centro en E (ver líneas rojas adyacentes), y HK su centro en D. Note, además, que EH (que es igual a CD) lleva el divisor común (o unidad) N, un número exacto de veces, al igual que EC, y por lo tanto, por inferencia, también CH. Queda entonces por demostrar que A aplicado en E, y B aplicado en D, tendrán su centro de gravedad en C.
Por lo tanto, como la relación de LH a HK no es de cuatro a tres, sino de ocho a seis, divida de manera similar las magnitudes A y B (una transformación que conserva su relación original de cuatro a tres) y alineelas como se muestra en el diagrama opuesto. A centrada en E y B centrada en D.
Ahora bien, dado que un número par de pesos iguales, igualmente espaciados, tienen su centro de gravedad entre los dos pesos medios, A se aplica de hecho en E y B en D, como requiere la proposición. Además, el sistema total consta de un número par de pesos iguales distribuidos equitativamente y, por lo tanto, siguiendo la misma ley, C debe ser el centro de gravedad del sistema completo. Así, A aplicado en E, y B aplicado en D, tienen su centro de gravedad en C. [1]
Autenticidad
Si bien no se pone en duda la autenticidad del libro dos, varias investigaciones han resaltado inconsistencias dentro de la presentación del libro uno. [2] [4] [5] Berggren, en particular, cuestiona la validez del libro uno en su conjunto; destacando, entre otras cosas, la redundancia de las proposiciones uno a tres, once y doce. [2] Sin embargo, Berggren sigue a Dijksterhuis , al rechazar la crítica de Mach a la proposición seis. Agregando que su verdadero significado radica en el hecho de que demuestra que "si un sistema de pesos suspendidos en una barra de equilibrio está en equilibrio cuando se apoya en un punto particular, entonces cualquier redistribución de estos pesos, que preserva su centro de gravedad común, también preserva el equilibrio ". [2] [4] Además, la proposición siete está incompleta en su forma actual, de modo que el libro uno demuestra la ley de la palanca sólo para magnitudes conmensurables. [1] [2] [4]
Referencias
- ^ a b c d e Heath, TL "Las obras de Arquímedes (1897). La obra íntegra en formato PDF (19 MB)" . Archive.org . Archivado desde el original el 6 de octubre de 2007 . Consultado el 6 de enero de 2013 .
- ^ a b c d e f g John Lennart Berggren (1976). "Teoremas espurios en el equilibrio de planos de Arquímedes libro I". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas 16 (2), 87-103. ISSN 1432-0657 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ↑ Citado por Pappus of Alexandria in Synagoge , Libro VIII
- ^ a b c Dijksterhuis, EJ (1987). Arquímedes . Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton. ISBN 0-691-08421-1. Traducción republicada del estudio de 1938 de Arquímedes y sus obras por un historiador de la ciencia.
- ^ Mach, E. (1907). La ciencia de la mecánica, un relato crítico e histórico de su desarrollo . Open Court, Chicago.Traducción republicada del original de 1883 por Thomas J. McCormack . Ed. 3, rev.