La cuadratura de la parábola ( griego : Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) es un tratado de geometría , escrito por Arquímedes en el siglo III a. C. Escrita como una carta a su amigo Dositeo , la obra presenta 24 proposiciones sobre parábolas , culminando con una prueba de que el área de un segmento parabólico (la región encerrada por una parábola y una línea ) es 4/3 de la de un ciertotriángulo inscrito .
El planteamiento del problema utilizó el método del agotamiento . Arquímedes pudo haber diseccionado el área en infinitos triángulos cuyas áreas forman una progresión geométrica . Calcula la suma de la serie geométrica resultante y demuestra que esta es el área del segmento parabólico. Esto representa el uso más sofisticado del método de agotamiento en las matemáticas antiguas, y permaneció insuperable hasta el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII, siendo sucedido por la fórmula de cuadratura de Cavalieri .
Teorema principal
Un segmento parabólico es la región delimitada por una parábola y una línea. Para encontrar el área de un segmento parabólico, Arquímedes considera cierto triángulo inscrito. La base de este triángulo es la cuerda dada de la parábola, y el tercer vértice es el punto de la parábola tal que la tangente a la parábola en ese punto es paralela a la cuerda. Por la Proposición 1 (Cuadratura de la parábola), una línea desde el tercer vértice trazada paralela al eje divide la cuerda en segmentos iguales. El teorema principal afirma que el área del segmento parabólico es 4/3 del triángulo inscrito.
Estructura del texto
Arquímedes da dos demostraciones del teorema principal. El primero utiliza la mecánica abstracta , con Arquímedes argumentando que el peso del segmento equilibrará el peso del triángulo cuando se coloca en una palanca apropiada . La segunda prueba más famosa usa geometría pura, específicamente el método de agotamiento .
De las veinticuatro proposiciones, las tres primeras se citan sin prueba de los Elementos de las cónicas de Euclides (una obra perdida de Euclides sobre las secciones cónicas ). Las proposiciones cuatro y cinco establecen propiedades elementales de la parábola; las proposiciones seis a diecisiete dan la demostración mecánica del teorema principal; y las proposiciones dieciocho a veinticuatro presentan la prueba geométrica.
Prueba geométrica
Disección del segmento parabólico
La idea principal de la demostración es la disección del segmento parabólico en infinitos triángulos, como se muestra en la figura de la derecha. Cada uno de estos triángulos está inscrito en su propio segmento parabólico de la misma manera que el triángulo azul está inscrito en el segmento grande.
Áreas de los triángulos
En las proposiciones dieciocho a veintiuno, Arquímedes prueba que el área de cada triángulo verde es un octavo del área del triángulo azul. Desde un punto de vista moderno, esto se debe a que el triángulo verde tiene la mitad del ancho y un cuarto de la altura: [1]
Por extensión, cada uno de los triángulos amarillos tiene un octavo del área de un triángulo verde, cada uno de los triángulos rojos tiene un octavo del área de un triángulo amarillo, y así sucesivamente. Utilizando el método de agotamiento , se deduce que el área total del segmento parabólico está dada por
Aquí T representa el área del triángulo azul grande, el segundo término representa el área total de los dos triángulos verdes, el tercer término representa el área total de los cuatro triángulos amarillos, y así sucesivamente. Esto simplifica dar
Suma de la serie
Para completar la prueba, Arquímedes muestra que
La fórmula anterior es una serie geométrica: cada término sucesivo es un cuarto del término anterior. En matemáticas modernas, esa fórmula es un caso especial de la fórmula de suma para una serie geométrica .
Arquímedes evalúa la suma utilizando un método completamente geométrico, [2] ilustrado en la imagen adyacente. Esta imagen muestra un cuadrado unitario que se ha diseccionado en una infinidad de cuadrados más pequeños. Cada cuadrado violeta sucesivo tiene un cuarto del área del cuadrado anterior, siendo el área púrpura total la suma
Sin embargo, los cuadrados púrpuras son congruentes con cualquiera de los conjuntos de cuadrados amarillos, por lo que cubren 1/3 del área del cuadrado unitario. De ello se deduce que la serie anterior suma 4/3 (ya que 1 + 1/3 = 4/3).
Ver también
Notas
- ^ El triángulo verde tiene la mitad del ancho del triángulo azul por construcción. El enunciado sobre la altura se deriva de las propiedades geométricas de una parábola y es fácil de probar utilizando geometría analítica moderna.
- ↑ Estrictamente hablando, Arquímedes evalúa las sumas parciales de esta serie y usa la propiedad de Arquímedes para argumentar que las sumas parciales se acercan arbitrariamente a 4/3. Esto es lógicamente equivalente a la idea moderna de sumar una serie infinita.
Otras lecturas
- Ajose, Sunday y Roger Nelsen (junio de 1994). "Prueba sin palabras: Serie geométrica". Revista de Matemáticas . 67 (3): 230. doi : 10.2307 / 2690617 . JSTOR 2690617 .
- Ancora, Luciano (2014). "Cuadratura de la parábola con el número piramidal cuadrado" . Arquímedes . 66 (3).
- Bressoud, David M. (2006). Un enfoque radical del análisis real (2ª ed.). Asociación Matemática de América . ISBN 0-88385-747-2..
- Dijksterhuis, EJ (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN 0-691-08421-1
- Edwards Jr., CH (1994). El desarrollo histórico del cálculo (3ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-94313-7..
- Heath, Thomas L. (2011). Las obras de Arquímedes (2ª ed.). CreateSpace. ISBN 978-1-4637-4473-1.
- Simmons, George F. (2007). Gemas de cálculo . Asociación Matemática de América. ISBN 978-0-88385-561-4..
- Stein, Sherman K. (1999). Arquímedes: ¿Qué hizo además de llorar Eureka? . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-718-9.
- Stillwell, John (2004). Matemáticas y su Historia (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-95336-1..
- Swain, Gordon y Thomas Dence (abril de 1998). "Cuadratura de Arquímedes de la parábola revisitada". Revista de Matemáticas . 71 (2): 123–30. doi : 10.2307 / 2691014 . JSTOR 2691014 .
- Wilson, Alistair Macintosh (1995). El infinito en lo finito . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853950-9..
enlaces externos
- Casselman, Bill. "Cuadratura de Arquímedes de la parábola" . Texto completo, traducido por TL Heath.
- Departamento de Matemáticas e Informática de la Universidad Xavier . "Arquímedes de Siracusa" . Texto de las proposiciones 1-3 y 20-24, con comentario.
- http://planetmath.org/ArchimedesCalculus