La función Onsager-Machlup es una función que resume la dinámica de un proceso estocástico continuo . Se utiliza para definir una densidad de probabilidad para un proceso estocástico y es similar al Lagrangiano de un sistema dinámico . Lleva el nombre de Lars Onsager y S. Machlup, quienes fueron los primeros en considerar tales densidades de probabilidad. [1]
La dinámica de un proceso estocástico continuo X desde el tiempo t = 0 hasta t = T en una dimensión, satisfaciendo una ecuación diferencial estocástica
donde W es un proceso de Wiener , puede describirse en aproximación por la función de densidad de probabilidad de su valor x i en un número finito de puntos en el tiempo t i :
dónde
y Δ t i = t i 1 - t i > 0 , t 1 = 0 y t n = T . Una aproximación similar es posible para procesos de mayores dimensiones. La aproximación es más precisa para tamaños de paso de tiempo más pequeños Δ t i , pero en el límite Δ t i → 0 la función de densidad de probabilidad se vuelve mal definida, una de las razones es que el producto de términos
diverge hasta el infinito . No obstante, para definir una densidad para el proceso estocástico continuo X , se consideran las razones de probabilidades de que X se encuentre dentro de una pequeña distancia ε de las curvas suaves φ 1 y φ 2 : [2]
como ε → 0 , donde L es la función Onsager-Machlup .
Definición
Considere una variedad Riemanniana d- dimensional M y un proceso de difusión X = { X t : 0 ≤ t ≤ T } en M con generador infinitesimal 1/2Δ M + b , donde Δ M es el operador de Laplace-Beltrami y b es un campo vectorial . Para dos curvas suaves cualesquiera φ 1 , φ 2 : [0, T ] → M ,
donde ρ es la distancia de Riemann ,denota las primeras derivadas de φ 1 , φ 2 , y L se llama función Onsager-Machlup .
La función Onsager-Machlup viene dada por [3] [4] [5]
donde || ⋅ || x es la norma de Riemann en el espacio tangente T x ( M ) en x , div b ( x ) es la divergencia de b en x , y R ( x ) es la curvatura escalar en x .
Ejemplos de
Los siguientes ejemplos dan expresiones explícitas para la función Onsager-Machlup de un proceso estocástico continuo.
Proceso de salchicha en la línea real
La función Onsager-Machlup de un proceso de Wiener en la línea real R viene dada por [6]
Sea X = { X t : 0 ≤ t ≤ T } un proceso de Wiener en R y sea φ : [0, T ] → R una curva dos veces diferenciable tal que φ (0) = X 0 . Defina otro proceso X φ = { X t φ : 0 ≤ t ≤ T } por X t φ = X t - φ ( t ) y una medida P φ por
Para todo ε > 0 , la probabilidad de que | X t - φ ( t ) | ≤ ε para cada t ∈ [0, T ] satisface
Según el teorema de Girsanov , la distribución de X φ bajo P φ es igual a la distribución de X bajo P , por lo que esta última puede ser sustituida por la primera:
Según el lema de Itō, sostiene que
dónde es la segunda derivada de φ , por lo que este término es de orden ε en el evento donde | X t | ≤ ε para cada t ∈ [0, T ] y desaparecerá en el límite ε → 0 , por lo tanto
Procesos de difusión con coeficiente de difusión constante en el espacio euclidiano
La función Onsager-Machlup en el caso unidimensional con coeficiente de difusión constante σ viene dada por [7]
En el caso d- dimensional, con σ igual a la matriz unitaria, está dada por [8]
donde || ⋅ || es la norma euclidiana y
Generalizaciones
Se han obtenido generalizaciones debilitando la condición de diferenciabilidad en la curva φ . [9] En lugar de tomar la distancia máxima entre el proceso estocástico y la curva en un intervalo de tiempo, se han considerado otras condiciones como distancias basadas en normas completamente convexas [10] y normas de tipo Hölder, Besov y Sobolev. [11]
Aplicaciones
La función Onsager-Machlup se puede utilizar para volver a ponderar y muestrear trayectorias, [12] así como para determinar la trayectoria más probable de un proceso de difusión. [13] [14]
Ver también
Referencias
- ^ Onsager, L. y Machlup, S. (1953)
- ↑ Stratonovich, R. (1971)
- ^ Takahashi, Y. y Watanabe, S. (1980)
- ^ Fujita, T. y Kotani, S. (1982)
- ↑ Wittich, Olaf
- ^ Ikeda, N. y Watanabe, S. (1980), Capítulo VI, Sección 9
- ^ Dürr, D. y Bach, A. (1978)
- ^ Ikeda, N. y Watanabe, S. (1980), Capítulo VI, Sección 9
- ↑ Zeitouni, O. (1989)
- ^ Shepp, L. y Zeitouni, O. (1993)
- ↑ Capitaine, M. (1995)
- ^ Adib, AB (2008).
- ^ Adib, AB (2008).
- ^ Dürr, D. y Bach, A. (1978).
Bibliografía
- Adib, AB (2008). "Acciones estocásticas para dinámica difusiva: Reponderación, muestreo y minimización". J. Phys. Chem. B . 112 (19): 5910–5916. arXiv : 0712.1255 . doi : 10.1021 / jp0751458 . PMID 17999482 .
- Capitaine, M. (1995). "Onsager-Machlup funcional para algunas normas suaves en el espacio Wiener". Probab. Teoría Relat. Campos . 102 (2): 189-201. doi : 10.1007 / bf01213388 .
- Dürr, D. y Bach, A. (1978). "La función Onsager-Machlup como lagrangiana para el camino más probable de un proceso de difusión". Comun. Matemáticas. Phys . 60 (2): 153-170. Código Bibliográfico : 1978CMaPh..60..153D . doi : 10.1007 / bf01609446 .
- Fujita, T. y Kotani, S. (1982). "La función Onsager-Machlup para procesos de difusión" . J. Math. Univ . De Kyoto 22 : 115-130. doi : 10.1215 / kjm / 1250521863 .
- Ikeda, N. y Watanabe, S. (1980). Ecuaciones diferenciales estocásticas y procesos de difusión . Kodansha-John Wiley.
- Onsager, L. y Machlup, S. (1953). "Fluctuaciones y procesos irreversibles". Revisión física . 91 (6): 1505-1512. Código Bibliográfico : 1953PhRv ... 91.1505O . doi : 10.1103 / physrev.91.1505 .
- Shepp, L. y Zeitouni, O. (1993). Estimaciones exponenciales para normas convexas y algunas aplicaciones . Progreso en probabilidad . 32 . Berlín: Birkhauser-Verlag. págs. 203–215. CiteSeerX 10.1.1.28.8641 . doi : 10.1007 / 978-3-0348-8555-3_11 . ISBN 978-3-0348-9677-1.
- Stratonovich, R. (1971). "Sobre la probabilidad funcional de los procesos de difusión". Seleccione. Transl. En matemáticas. Stat. Prob . 10 : 273-286.
- Takahashi, Y. y Watanabe, S. (1980). "Los funcionales de probabilidad (funciones de Onsager-Machlup) de los procesos de difusión". Apuntes de clase en matemáticas . Saltador. 851 : 432–463.
- Wittich, Olaf. "La revisión funcional de Onsager-Machlup". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Zeitouni, O. (1989). "En el Onsager-Machlup funcional de procesos de difusión alrededor de curvas no C 2 " . Anales de probabilidad . 17 (3): 1037–1054. doi : 10.1214 / aop / 1176991255 .
enlaces externos
- Función Onsager – Machlup. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857