La teoría de conjuntos musicales proporciona conceptos para categorizar musicales objetos y describir sus relaciones. Howard Hanson elaboró primero muchos de los conceptos para el análisis tonal de la música. [2] Otros teóricos, como Allen Forte , desarrollan aún más la teoría para el análisis de atonal música, [3] sobre la base de la dodecafónica teoría de Milton Babbitt . Los conceptos de la teoría de conjuntos musicales son muy generales y se pueden aplicar a los estilos tonales y atonales en cualquier temperamento igual sistema de sintonización, y en cierta medida más general que eso.
Una rama de conjunto ofertas de la teoría musical con colecciones ( conjuntos y permutaciones ) de emplazamientos y clases de tono ( la teoría de conjuntos de la clase de paso ), que pueden ser clasificadas o no ordenadas , y pueden estar relacionados por las operaciones musicales como transposición , inversión melódica , y complementación . Algunos teóricos se aplican los métodos de la teoría de conjuntos musical para el análisis de ritmo también.
La teoría matemática de conjuntos frente a la teoría de conjuntos musicales
Aunque la teoría de conjuntos musicales a menudo se cree que implica la aplicación de la matemática la teoría de conjuntos de música, existen numerosas diferencias entre los métodos y la terminología de los dos. Por ejemplo, los músicos utilizan los términos transposición y la inversión , donde los matemáticos usarían traducción y la reflexión . Además, cuando la teoría de conjuntos musical se refiere a conjuntos ordenados, matemáticas normalmente se refieren a tuplas o secuencias (aunque matemáticas habla de conjuntos ordenados , y aunque éstas se pueden ver para incluir el tipo musical, en cierto sentido, son mucho más involucrado).
Por otra parte, la teoría de conjuntos musical está más estrechamente relacionado con la teoría de grupos y la combinatoria de la teoría matemática de conjuntos, que se ocupa de cuestiones tales como, por ejemplo, diversos tamaños de conjuntos infinitamente grandes. En la combinatoria, un subconjunto no ordenada de n objetos, tales como clases de tono , se llama una combinación , y un ordenado subconjunto A de permutación . La teoría de conjuntos musical está mejor considerado como un campo que no es tan relacionada con la teoría matemática de conjuntos, como una aplicación de la teoría combinatoria de la música con su propio vocabulario. La conexión principal a la teoría matemática de conjuntos es el uso de la teoría de conjuntos de vocabulario para hablar de conjuntos finitos.
Y SET tipos
El concepto fundamental de la teoría de conjuntos es el conjunto musical (musical), que es una colección desordenada de las clases de tono. [4] Más exactamente, un conjunto de la clase de tono es una representación numérica que consiste de los números enteros distintos (es decir, sin duplicados). [5] Los elementos de un conjunto se pueden manifestar en la música como simultáneas acordes, tonos sucesivos (como en una melodía), o ambos. [ Cita requerida ] convenciones de notación varían de un autor a otro, pero normalmente conjuntos están encerradas entre llaves: {}, [6] o corchetes: []. [5]
Algunos teóricos utilizan corchetes angulares ⟨⟩ para denotar clasificadas secuencias, [7] , mientras que otros distinguen conjuntos ordenados por la separación de los números con espacios. [8] Por lo tanto se podría anotar el conjunto desordenado de las clases de tono 0, 1, y 2 (que corresponde en este caso a C, C ♯ , y D) como {0,1,2}. La secuencia de CC ordenado ♯ -D sería notated ⟨0,1,2⟩ o (0,1,2). Aunque C se considera cero en este ejemplo, este no siempre es el caso. Por ejemplo, una pieza (ya sea tonal o atonal) con un centro de afinación clara de F podría ser analizado más útil con F conjunto a cero (en cuyo caso {0,1,2} representaría F, F ♯ y G. (Para el uso de números para representar notas, ver la clase de tono .)
Aunque los teóricos establecidos por lo general consideran conjuntos de clases de temperamento igual de paso, es posible considerar conjuntos de lanzamientos, clases de paso no igual-templado, [ cita requerida ] rítmica inicios, o "clases de superar". [9] [10]
Conjuntos de dos elementos se llaman diadas , conjuntos de tres elementos tricordos (ocasionalmente "tríadas", aunque esto se confunde fácilmente con el sentido tradicional de la palabra tríada ). Conjuntos de cardinalidad superiores se llaman tetracordes (o tétradas), pentacordo (o pentadas), hexacordos (o hexads), heptachords (heptads o, a veces, la mezcla de latín y raíces griegas, "septachords" -por ejemplo Rahn), [11] octachords ( octads), nonachords (nonads), decachords (decads), undecachords , y, finalmente, el dodecachord .
Operaciones básicas
Las operaciones básicas que se pueden realizar en un conjunto son la transposición y la inversión . Los conjuntos relacionados por la transposición o inversión se dice que están transpositionally relacionado o inversionally relacionado, y pertenecen a la misma clase de conjunto . Desde la transposición y la inversión son isometrías del espacio de clase de paso, que preservan la estructura de intervalos de un conjunto, aunque no conservan el carácter musical (es decir, la realidad física) de los elementos del conjunto. [ Cita requerida ] Esto se puede considerar el postulado central de la teoría de conjuntos musicales. En la práctica, el análisis musical de teoría de conjuntos a menudo consiste en la identificación de las relaciones de la transposición no evidente o inversional entre las series que se encuentran en una pieza.
Algunos autores consideran las operaciones de complementación y la multiplicación también. El complemento de conjunto X es el conjunto que consiste en todas las clases de la echada no contenida en X. [12] El producto de dos clases de paso es el producto de sus números de clase pitch modulo 12. Desde la complementación y la multiplicación no son isometrías de PITCH- espacio de la clase, no necesariamente conservan el carácter musical de los objetos que se transforman. Otros autores, como Allen Forte, han hecho hincapié en la Z-relación , que obtiene entre dos conjuntos que comparten el mismo contenido total de intervalo, o vector intervalo -pero no son transpositionally o inversionally equivalente. [13] Otro nombre para esta relación, utilizado por Hanson, [14] es "isomérica". [15]
Operaciones en secuencias ordenadas de las clases de tono también incluyen transposición y de inversión, así como retrógrada y la rotación . Retrogradando una secuencia ordenada invierte el orden de sus elementos. La rotación de una secuencia ordenada es equivalente a permutación cíclica .
Transposición e inversión pueden ser representados como operaciones aritméticas elementales. Si x es un número que representa una clase de tono, su transposición por n semitonos está escrito T n = x + n mod 12. Inversion corresponde a la reflexión alrededor de algún punto fijo en el espacio de clases tonales . Si x es una clase de tono, la inversión con el número de índice n que se escribe n = n - x mod 12.
Relación de equivalencia
"Para una relación en conjunto S ser una relación de equivalencia [en álgebra ], tiene que cumplir tres condiciones: que tiene que ser reflexiva ..., simétrica ..., y transitiva ...". [16] "De hecho, una noción informal de equivalencia siempre ha sido parte de la teoría de la música y la teoría de conjuntos PC análisis., Sin embargo, se ha adherido a definiciones formales de equivalencia." [17]
Transposicionales y clases conjunto inversional
Dos conjuntos transpositionally relacionados se dice que pertenecen a la misma clase conjunto transposicional (T n ). Dos juegos relacionados por transposición o inversión se dice que pertenecen a la misma / clase conjunto inversional transposicional (inversión siendo escrito T n I o I n ). Conjuntos que pertenecen a la misma clase conjunto transposicional son muy similares de sonido; mientras que los conjuntos que pertenecen a la misma / clase conjunto inversional transposicional están sonando bastante similar. Debido a esto, teóricos de la música a menudo consideran las clases de conjunto de objetos básicos de interés musical.
Hay dos principales convenciones para la denominación de las clases de temperamento igual establecidos. Uno de ellos, conocido como el número Forte , deriva de Allen Forte, cuya La estructura de la música atonal (1973), es uno de los primeros trabajos en la teoría de conjuntos musicales. Forte proporcionado cada clase conjunto con un número de la forma c - d , donde c indica la cardinalidad del conjunto y d es el número ordinal. [18] Por lo tanto la tricordo cromática {0, 1, 2} pertenece al conjunto de clase 3-1, que indica que es la primera clase de conjunto de tres notas en la lista de Forte. [19] El tricordo aumentada {0, 4, 8}, recibe la etiqueta de 3-12, que pasa a ser la última tricordo en la lista de Forte.
Las críticas principales de la nomenclatura de Forte son: (1) etiquetas de Forte son arbitrarios y difíciles de memorizar, y es en la práctica a menudo más fácil simplemente a la lista de un elemento de la clase conjunto; (2) Sistema de Forte asume el temperamento igual y no puede ser fácilmente ampliado para incluir conjuntos diatónicas, conjuntos de tono (a diferencia de los conjuntos de la clase de tono), conjuntos múltiples o conjuntos en otros sistemas de afinación; (3) sistema original de Forte considera conjuntos de pertenecer al mismo conjunto de clase inversionally relacionado. Esto significa que, por ejemplo, una tríada mayor y una tríada de menor importancia se consideran el mismo conjunto.
música tonal occidental durante siglos se ha considerado mayor y menor, así como inversiones de acordes, como significativamente diferente. Generan hecho completamente diferentes objetos físicos. Haciendo caso omiso de la realidad física del sonido es una limitación obvia de la teoría atonal. Sin embargo, la defensa ha hecho que la teoría no fue creado para llenar un vacío en el que las teorías existentes insuficientemente explicados música tonal. Por el contrario, la teoría de Forte se utiliza para explicar la música atonal, donde el compositor ha inventado un sistema en el que la distinción entre {0, 4, 7} (llamados 'mayor' en la teoría tonal) y su inversión {0, 3, 7} (llamados 'menor' en la teoría tonal) puede no ser relevante.
El segundo sistema de notación etiquetas de conjuntos en términos de su forma normal , que depende del concepto de orden normal . Para poner un conjunto en orden normal, lo haga como una escala ascendente en el espacio de la clase de tono que vanos a menos de una octava. Entonces permutar cíclicamente hasta que sus primeras y últimas notas son tan cerca como sea posible. En caso de empate, minimizar la distancia entre la primera y la siguiente a la última nota. (En el caso de los vínculos aquí, reducir al mínimo la distancia entre la primera y siguiente a la siguiente a la última nota, y así sucesivamente.) Por lo tanto {0, 7, 4} en orden normal es {0, 4, 7}, mientras que {0, 2, 10} en orden normal es {10, 0, 2}. Para poner un juego en forma normal, empezar por poner en orden normal, y luego transportarla de manera que su primera clase de la echada es 0. [20] Los matemáticos y científicos informáticos más a menudo combinaciones de orden de pedido utilizando ya sea alfabético, binario (base dos) ordenar, o gris de codificación , cada uno de los cuales conducen a diferentes formas normales pero lógicas. [ cita requerida ]
Desde conjuntos transpositionally relacionados comparten la misma forma normal, formas normales se pueden utilizar para etiquetar el T n clases establecidos.
Para identificar un conjunto de T N / I n clase conjunto:
- Identificar T de la serie n conjunto de clases.
- Invertir el conjunto y encontrar T de la inversión n clase conjunto.
- Comparar estas dos formas normales para ver que es lo más "izquierda lleno."
El conjunto resultante etiquetas de T del conjunto inicial n / I n clase conjunto.
Simetría
El número de operaciones distintas en un sistema que se asignan un conjunto en sí mismo es el conjunto de grado de simetría . [21] El grado de simetría, "especifica el número de operaciones que preservan las pcsets no ordenadas de una partición; Cuenta la medida en que los conjuntos de la clase de tono de ese mapa de particiones en (o sobre) entre sí en virtud de transposición o inversión". [22] Cada conjunto tiene al menos una simetría, ya que los mapas sobre sí mismo bajo la operación identidad T 0 . [23] transpositionally conjuntos simétricos mapa en sí mismos para T n donde n no es igual a 0 (mod 12). Inversionally conjuntos simétricos mapa en sí mismos bajo T n I. Para cualquier dado T n / T n tipo I todos los conjuntos tienen el mismo grado de simetría. El número de conjuntos distintos en un tipo es de 24 (el número total de operaciones, la transposición y la inversión, para n = 0 a 11) dividido por el grado de simetría de T n / T n I tipo.
Conjuntos transpositionally simétricas o bien dividen la octava de manera uniforme, o pueden ser escritas como la unión de conjuntos de igual tamaño que ellos mismos dividen la octava uniformemente. Inversionally acordes simétricos son invariantes bajo reflexiones en el espacio de clase terreno de juego. Esto significa que los acordes se pueden ordenar de forma cíclica por lo que la serie de intervalos entre notas sucesivas es la misma lectura delante o hacia atrás. Por ejemplo, en el ordenamiento cíclico (0, 1, 2, 7), el intervalo entre la primera y segunda nota es 1, el intervalo entre la segunda y tercera nota es 1, el intervalo entre la tercera y cuarta nota es 5, y el intervalo entre la cuarta nota y la primera nota es 5. [24]
Se obtiene la misma secuencia si se comienza con el tercer elemento de la serie y se mueve hacia atrás: el intervalo entre el tercer elemento de la serie y la segunda es 1; el intervalo entre el segundo elemento de la serie y la primera es 1; el intervalo entre el primer elemento de la serie y el cuarto es 5; y el intervalo entre el último elemento de la serie y el tercer elemento es 5. En consecuencia, la simetría se encuentra entre T 0 y T 2 I, y hay 12 sistemas en la T n / T n I clase de equivalencia. [24]
Ver también
- Identidad (música)
- Intervalo de tono
- Tonnetz
- Teoría transformacional
Referencias
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Fuentes
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enlaces externos
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