Transformada wavelet

Técnica matemática utilizada en la compresión y análisis de datos.

Un ejemplo de la transformada de ondículas discretas 2D que se utiliza en JPEG2000 .

Para una cobertura más amplia de este tema, consulte Wavelet .

En matemáticas , una serie wavelet es una representación de un cuadrado integrable ( verdadero - o complejo -valued) función por un cierto ortonormales serie generados por un wavelet . Este artículo proporciona una definición matemática formal de una ondícula ortonormal y de la transformada de ondícula integral . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Definición

Una función se denomina tren de ondas ortonormal si se puede utilizar para definir una base de Hilbert , que es un completo sistema ortonormal , para el espacio de Hilbert de cuadrado integrable funciones.${\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

La base de Hilbert se construye como la familia de funciones mediante traslaciones y dilataciones diádicas de ,${\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \psi \,}$

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,}$

para enteros .${\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }$

Si está debajo del producto interior estándar encendido ,${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx}$

esta familia es ortonormal, es un sistema ortonormal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ?${\displaystyle \delta _{jl}\,}$

La integridad se satisface si cada función puede expandirse en la base como${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

con convergencia de la serie entendida como convergencia en norma . Esta representación de f se conoce como serie de ondículas . Esto implica que una ondícula ortonormal es auto-dual .

La transformada de ondícula integral es la transformada integral definida como

${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$

Los coeficientes de ondículas vienen dados por${\displaystyle c_{jk}}$

${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$

Aquí, se llama dilatación binaria o dilatación diádica , y es la posición binaria o diádica .${\displaystyle a=2^{-j}}$${\displaystyle b=k2^{-j}}$

Principio

La idea fundamental de las transformaciones de ondículas es que la transformación debe permitir solo cambios en la extensión del tiempo, pero no en la forma. Esto se ve afectado por la elección de funciones de base adecuadas que lo permitan. ^{[ ¿cómo? ]} Se espera que los cambios en la extensión de tiempo se ajusten a la frecuencia de análisis correspondiente de la función base. Basado en el principio de incertidumbre del procesamiento de señales,

${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}$

donde representa el tiempo y la frecuencia angular ( , donde es la frecuencia temporal).${\displaystyle t}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f}$

Cuanto mayor sea la resolución requerida en el tiempo, menor debe ser la resolución en frecuencia. Cuanto mayor sea la extensión de las ventanas de análisis , mayor será el valor de ^{[ ¿cómo? ]} .${\displaystyle \Delta t}$

Cuando es grande${\displaystyle \Delta t}$

1. Resolución de mal tiempo
2. Buena resolución de frecuencia
3. Baja frecuencia, gran factor de escala

Cuando es pequeño${\displaystyle \Delta t}$

1. Buena resolución de tiempos
2. Mala resolución de frecuencia
3. Factor de escala pequeño de alta frecuencia

En otras palabras, la función base puede considerarse como una respuesta de impulso de un sistema con el que se ha filtrado la función . La señal transformada proporciona información sobre el tiempo y la frecuencia. Por lo tanto, la transformación de ondículas contiene información similar a la transformación de Fourier de tiempo corto , pero con propiedades especiales adicionales de las ondículas, que se muestran en la resolución en el tiempo a frecuencias de análisis más altas de la función base. La diferencia en la resolución de tiempo a frecuencias ascendentes para la transformada de Fourier y la transformada de ondículas se muestra a continuación. Sin embargo, tenga en cuenta que la resolución de frecuencia disminuye al aumentar las frecuencias, mientras que la resolución temporal aumenta. Esta consecuencia de la${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x(t)}$El principio de incertidumbre de Fourier no se muestra correctamente en la figura.

Esto muestra que la transformación de ondículas es buena en la resolución temporal de altas frecuencias, mientras que para funciones que varían lentamente, la resolución de frecuencia es notable.

Otro ejemplo: el análisis de tres señales sinusoidales superpuestas con STFT y transformación de ondículas.${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$

Compresión wavelet

La compresión wavelet es una forma de compresión de datos muy adecuada para la compresión de imágenes (a veces también compresión de video y compresión de audio ). Las implementaciones notables son JPEG 2000 , DjVu y ECW para imágenes fijas, JPEG XS , CineForm y Dirac de la BBC . El objetivo es almacenar datos de imágenes en el menor espacio posible en un archivo . La compresión wavelet puede ser sin pérdida o con pérdida . ^[6]

Usando una transformada de ondículas, los métodos de compresión de ondículas son adecuados para representar transitorios , como sonidos de percusión en audio, o componentes de alta frecuencia en imágenes bidimensionales, por ejemplo, una imagen de estrellas en un cielo nocturno. Esto significa que los elementos transitorios de una señal de datos pueden ser representados por una cantidad menor de información que si se hubiera usado alguna otra transformada, como la transformada de coseno discreta más extendida .

La transformada de ondículas discretas se ha aplicado con éxito para la compresión de señales de electrocardiógrafo (ECG) ^[7]. En este trabajo, se utiliza la alta correlación entre los coeficientes de ondículas correspondientes de señales de ciclos cardíacos sucesivos empleando predicción lineal.

La compresión wavelet no es buena para todo tipo de datos: las características de la señal transitoria significan una buena compresión wavelet, mientras que las señales periódicas suaves se comprimen mejor con otros métodos, en particular la compresión armónica tradicional (dominio de frecuencia, como las transformadas de Fourier y afines).

Consulte Diario de un desarrollador x264: Los problemas con wavelets (2010) para una discusión de cuestiones prácticas de los métodos actuales que utilizan wavelets para la compresión de video.

Método

Primero se aplica una transformada de ondículas. Esto produce tantos coeficientes como píxeles haya en la imagen (es decir, todavía no hay compresión ya que es solo una transformación). Estos coeficientes se pueden comprimir más fácilmente porque la información se concentra estadísticamente en unos pocos coeficientes. Este principio se llama codificación de transformación . Después de eso, los coeficientes se cuantifican y los valores cuantificados se codifican en entropía y / o se codifican en longitud de ejecución .

Algunas aplicaciones 1D y 2D de compresión de ondículas utilizan una técnica llamada "huellas de ondículas". ^{[8] [9]}

Evaluación

Requisito para la compresión de imágenes

Para la mayoría de las imágenes naturales, la densidad del espectro de baja frecuencia es mayor. ^[10] Como resultado, la información de la señal de baja frecuencia (señal de referencia) generalmente se conserva, mientras que la información de la señal de detalle se descarta. Desde la perspectiva de la compresión y reconstrucción de imágenes, una ondícula debe cumplir los siguientes criterios al realizar la compresión de imágenes:

• Pudiendo transformar una imagen más original en la señal de referencia.
• Reconstrucción de la más alta fidelidad basada en la señal de referencia.
• No debe dar lugar a artefactos en la imagen reconstruida a partir de la señal de referencia únicamente.

Requisito de variación de turno y comportamiento de llamada

El sistema de compresión de imágenes wavelet implica filtros y diezmado, por lo que puede describirse como un sistema de variante de desplazamiento lineal. A continuación se muestra un diagrama típico de transformación de ondículas:

El sistema de transformación contiene dos filtros de análisis (un filtro de paso bajo y un filtro de paso alto ), un proceso de diezmado, un proceso de interpolación y dos filtros de síntesis ( y ). El sistema de compresión y reconstrucción generalmente involucra componentes de baja frecuencia, que son los filtros de análisis para la compresión de imágenes y los filtros de síntesis para la reconstrucción. Para evaluar tal sistema, podemos ingresar un impulso y observar su reconstrucción ; Las ondículas óptimas son aquellas que aportan una variación mínima de desplazamiento y lóbulo lateral a . Aunque la ondícula con una variación de cambio estricta no es realista, es posible seleccionar una ondícula con solo una ligera variación de cambio. Por ejemplo, podemos comparar la variación de cambio de dos filtros:${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle h_{1}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle g_{1}(n)}$${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle \delta (n-n_{i})}$${\displaystyle h(n-n_{i})}$${\displaystyle h(n-n_{i})}$^[11]

Filtros biortogonales para la compresión de imágenes wavelet

		Largo	Coeficientes de filtro	Regularidad
Filtro de ondas 1	H0	9	.852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828	1.068
	G0	7	.788486, .418092, -.040689, -.064539	1.701
Filtro de ondas 2	H0	6	.788486, .047699, -.129078	0,701
	G0	10	.615051, .133389, -.067237, .006989, .018914	2.068

Al observar las respuestas de impulso de los dos filtros, podemos concluir que el segundo filtro es menos sensible a la ubicación de entrada (es decir, es menos variante de desplazamiento).

Otro problema importante para la compresión y reconstrucción de imágenes es el comportamiento oscilatorio del sistema, que podría provocar graves artefactos no deseados en la imagen reconstruida. Para lograr esto, los filtros de ondículas deben tener una relación de pico a lóbulo lateral grande.

Hasta ahora hemos hablado de la transformación unidimensional del sistema de compresión de imágenes. Este problema puede extenderse a dos dimensiones, mientras que se propone un término más general: transformaciones multiescala desplazables. ^[12]

Derivación de la respuesta al impulso

Como se mencionó anteriormente, la respuesta al impulso se puede utilizar para evaluar el sistema de reconstrucción / compresión de imágenes.

Para la secuencia de entrada , la señal de referencia después de un nivel de descomposición pasa por diezmado por un factor de dos, mientras que es un filtro de paso bajo. De manera similar, la siguiente señal de referencia se obtiene al diezmarla en un factor de dos. Después de los niveles de L de la descomposición (y diezmado), la respuesta análisis se obtiene mediante la retención de una de cada muestras: .${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}$${\displaystyle r_{1}(n)}$${\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}$${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}$${\displaystyle 2^{L}}$${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}$

Por otro lado, para reconstruir la señal x (n), podemos considerar una señal de referencia . Si las señales de detalle son iguales a cero para , entonces la señal de referencia en la etapa anterior ( etapa) es , que se obtiene interpolando y convolucionando con . De manera similar, el procedimiento se repite para obtener la señal de referencia en la etapa . Después de L iteraciones, se calcula la respuesta al impulso de síntesis:, que relaciona la señal de referencia y la señal reconstruida.${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}$${\displaystyle d_{i}(n)}$${\displaystyle 1\leq i\leq L}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}$${\displaystyle r_{L}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle r(n)}$${\displaystyle L-2,L-3,....,1}$${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}$${\displaystyle r_{L}(n)}$

Para obtener el sistema general de análisis / síntesis de nivel L, las respuestas de análisis y síntesis se combinan de la siguiente manera:

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}$.

Finalmente, la relación de pico a primer lóbulo lateral y el segundo lóbulo lateral medio de la respuesta al impulso global se pueden utilizar para evaluar el rendimiento de compresión de la imagen de ondículas.${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}$

Comparación con la transformada de Fourier y el análisis de tiempo-frecuencia

Transformar	Representación	Aporte
Transformada de Fourier	${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$	${\displaystyle \xi }$ frecuencia
Análisis de frecuencia de tiempo	${\displaystyle X(t,f)}$	${\displaystyle t}$tiempo; frecuencia${\displaystyle f}$
Transformada wavelet	${\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt}$	${\displaystyle a}$escalada; factor de cambio de tiempo${\displaystyle b}$

Las wavelets tienen algunos beneficios leves sobre las transformadas de Fourier al reducir los cálculos al examinar frecuencias específicas. Sin embargo, rara vez son más sensibles y, de hecho, la ondícula de Morlet común es matemáticamente idéntica a una transformada de Fourier de corta duración que utiliza una función de ventana gaussiana. ^[13] La excepción es cuando se buscan señales de una forma conocida no sinusoidal (por ejemplo, latidos del corazón); en ese caso, el uso de wavelets emparejadas puede superar los análisis STFT / Morlet estándar. ^[14]

Otras aplicaciones practicas

La transformada de ondícula nos puede proporcionar la frecuencia de las señales y el tiempo asociado a esas frecuencias, lo que la hace muy conveniente para su aplicación en numerosos campos. Por ejemplo, procesamiento de señales de aceleraciones para análisis de la marcha, ^[15] para detección de fallas, ^[16] para diseño de marcapasos de baja potencia y también en comunicaciones inalámbricas de banda ultraancha (UWB). ^{[17] [18] [19]}

1. Discretización del eje${\displaystyle c-\tau }$

   Se aplicó la siguiente discretización de frecuencia y tiempo:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}$

   Conduciendo a wavelets de la forma, la fórmula discreta para la wavelet base:

   ${\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

   Estas ondículas discretas se pueden utilizar para la transformación:

   ${\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

2. Implementación a través de FFT (transformada rápida de Fourier)

   Como es evidente a partir de la representación de transformación de ondículas (que se muestra a continuación)

   ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}$

   donde es el factor de escala, representa el factor de cambio de tiempo${\displaystyle c}$${\displaystyle \tau }$

   y como ya se mencionó en este contexto, la transformación de ondículas corresponde a una convolución de una función y una función de ondículas. Una convolución se puede implementar como una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Con esto, el siguiente enfoque de implementación da como resultado:${\displaystyle y(t)}$

   • Transformación de Fourier de la señal con la FFT${\displaystyle y(k)}$
   • Selección de un factor de escala discreto ${\displaystyle c_{n}}$
   • Escalado de la función de base de ondículas por este factor y la FFT posterior de esta función${\displaystyle c_{n}}$
   • Multiplicación con la señal transformada YFFT del primer paso
   • La transformación inversa del producto en el dominio del tiempo da como resultado diferentes valores discretos de y un valor discreto de${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle c_{n}}$
   • Volver al segundo paso, hasta que se procesen todos los valores de escala discretos para${\displaystyle c_{n}}$
   Hay muchos tipos diferentes de transformaciones de ondículas para propósitos específicos. Consulte también una lista completa de transformaciones relacionadas con wavelets, pero las más comunes se enumeran a continuación: wavelet de sombrero mexicano , wavelet de Haar , wavelet de Daubechies , wavelet triangular.

Transformación sincronizada

La transformada sincronizada puede mejorar significativamente la resolución temporal y de frecuencia de la representación de tiempo-frecuencia obtenida usando la transformada de ondícula convencional. ^{[20] [21]}

Ver también

• Transformada de ondícula continua
• Transformada de ondícula discreta
• Transformada de ondícula compleja
• Transformada Q constante
• Transformada de ondícula estacionaria
• Wavelet doble
• Análisis multirresolución
• MrSID , el formato de imagen desarrollado a partir de la investigación de compresión de ondículas original en el Laboratorio Nacional de Los Alamos (LANL)
• ECW , un formato de imagen geoespacial basado en wavelets diseñado para velocidad y eficiencia de procesamiento
• JPEG 2000 , un estándar de compresión de imágenes basado en ondas
• El formato DjVu utiliza un algoritmo IW44 basado en ondas para la compresión de imágenes
• escaleogramas , un tipo de espectrograma generado utilizando ondículas en lugar de una transformada de Fourier de corta duración
• Wavelet
• Haar wavelet
• Onda de Daubechies
• QMF binomial (también conocido como wavelet de Daubechies )
• Onda de Morlet
• Onda de Gabor
• Transformación de chirplet
• Representación de frecuencia de tiempo
• S transforma
• Establecer particiones en árboles jerárquicos
• Transformada de Fourier de corta duración
• Base biortogonal casi coiflet , que muestra que la ondícula para la compresión de imágenes también puede ser casi coiflet (casi ortogonal).

Referencias

1. Meyer, Yves (1992), Wavelets y operadores, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN  0-521-42000-8
2. Chui, Charles K. (1992), Introducción a Wavelets, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8 
3. Daubechies, Ingrid. (1992), Diez conferencias sobre Wavelets, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2 
4. Akansu, Ali N .; Haddad, Richard A. (1992), Descomposición de señales multirresolución: transformaciones, subbandas y ondas, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6 
5. Ghaderpour, E .; Pagiatakis, SD; Hassan, QK (2021). "Una encuesta sobre detección de cambios y análisis de series de tiempo con aplicaciones" . Ciencias Aplicadas . 11 (13): 6141. doi : 10.3390 / app11136141 .
6. JPEG 2000 , por ejemplo, puede usar una ondícula de 5/3 para la transformación sin pérdida (reversible) y una ondícula de 9/7 para la transformación con pérdida (irreversible).
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8. N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman y VV Dinesh Chander. "Un algoritmo de compresión de imágenes nuevo y novedoso que utiliza huellas de ondas"
9. Ho Tatt Wei y Jeoti, V. "Un esquema de compresión basado en huellas de ondas para señales de ECG". Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). "Un esquema de compresión basado en huellas de ondas para señales de ECG". 2004 Conferencia IEEE Región 10 TENCON 2004 . Una . pag. 283. doi : 10.1109 / TENCON.2004.1414412 . ISBN 0-7803-8560-8. S2CID  43806122 .
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^[1]

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Wavelets .

• Amara Graps (junio de 1995). "Una introducción a Wavelets" . IEEE Ciencias e Ingeniería Computacional .
• Robi Polikar (12 de enero de 2001). "El Tutorial de Wavelet" .
• Introducción concisa a Wavelets por René Puschinger

1. Prasad, Akhilesh; Maan, Jeetendrasingh; Verma, Sandeep Kumar (2021). "Transformaciones Wavelet asociadas con el índice de transformación de Whittaker" . Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas . n / a (n / a). doi : 10.1002 / mma.7440 . ISSN 1099-1476 .