Transformación diádica

Gráfico xy donde x  =  x ₀  ∈ [0, 1] es racional e y  =  x _n para todo  n .

La transformación diádica (también conocido como el mapa diádico , mapa de desplazamiento de bits , 2 x  mod 1 mapa , mapa Bernoulli , mapa duplicar o mapa de diente de sierra ^{[1] [2]} ) es el mapeo (es decir, relación de recurrencia )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

producido por la regla

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle \forall n\geq 0,x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$. ^[3]

De manera equivalente, la transformación diádica también se puede definir como el mapa de funciones iteradas de la función lineal por partes

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

El nombre mapa de desplazamiento de bits surge porque, si el valor de una iteración se escribe en notación binaria, la siguiente iteración se obtiene desplazando el punto binario un bit a la derecha, y si el bit a la izquierda del nuevo punto binario es un "uno", reemplazándolo por un cero.

La transformación diádica proporciona un ejemplo de cómo un simple mapa unidimensional puede provocar el caos . Este mapa se generaliza fácilmente a varios otros. Uno importante es la transformación beta , definida como . Este mapa ha sido ampliamente estudiado por muchos autores. Fue introducido por Alfréd Rényi en 1957, y Alexander Gelfond dio una medida invariable en 1959 y nuevamente de forma independiente por Bill Parry en 1960. ^{[4] [5] [6]}${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

Relación con el proceso de Bernoulli

El mapa T  : [0,1) → [0,1), conserva la medida de Lebesgue .${\displaystyle x\mapsto 2x{\bmod {1}}}$

El mapa se puede obtener como un homomorfismo en el proceso de Bernoulli . Sea el conjunto de todas las cadenas semi-infinitas de las letras y . Estos pueden entenderse como los lanzamientos de una moneda, saliendo cara o cruz. De manera equivalente, se puede escribir el espacio de todas las cadenas (semi) infinitas de bits binarios. La palabra "infinito" se califica con "semi-", ya que también se puede definir un espacio diferente que consta de todas las cadenas de doble infinito (doble extremo); esto conducirá al mapa de Baker . La calificación "semi-" se elimina a continuación. ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

Este espacio tiene una operación de turno natural , dada por

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )=(b_{1},b_{2},\cdots )}$

donde es una cadena infinita de dígitos binarios. Dada esa cadena, escribe${\displaystyle b_{0},b_{1},\cdots }$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

El resultado es un número real en el intervalo unitario. El desplazamiento induce un homomorfismo , también llamado , en el intervalo unitario. Dado que uno puede ver fácilmente que para la secuencia doblemente infinita de bits, el homomorfismo inducido es el mapa de Baker .${\displaystyle x}$${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )=(b_{1},b_{2},\cdots ),}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$

La secuencia diádica es entonces solo la secuencia

${\displaystyle x,\,T(x),\,T^{2}(x),\,T^{3}(x),\cdots }$

Eso es, ${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x)}$

El conjunto de Cantor

Tenga en cuenta que la suma

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

da la función de Cantor , como se define convencionalmente. Ésta es una de las razones por las que el conjunto a veces se denomina conjunto de Cantor .${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

Tasa de pérdida de información y dependencia sensible de las condiciones iniciales

Un sello distintivo de la dinámica caótica es la pérdida de información a medida que se produce la simulación. Si comenzamos con información sobre los primeros s bits de la iteración inicial, luego de m iteraciones simuladas ( m  <  s ) solo tenemos ( s  -  m ) bits de información restantes. Por lo tanto, perdemos información a una tasa exponencial de un bit por iteración. Después de siteraciones, nuestra simulación ha alcanzado el punto fijo cero, independientemente de los verdaderos valores de iteración; por lo que hemos sufrido una pérdida total de información. Esto ilustra una dependencia sensible de las condiciones iniciales: el mapeo de la condición inicial truncada se ha desviado exponencialmente del mapeo de la condición inicial verdadera. Y dado que nuestra simulación ha alcanzado un punto fijo, para casi todas las condiciones iniciales no describirá la dinámica de la manera cualitativamente correcta como caótica.

Equivalente al concepto de pérdida de información es el concepto de ganancia de información. En la práctica, algún proceso del mundo real puede generar una secuencia de valores { x _n } a lo largo del tiempo, pero es posible que solo podamos observar estos valores en forma truncada. Supongamos, por ejemplo, que x ₀ = 0.1001101, pero solo observamos el valor truncado 0.1001. Nuestra predicción para x ₁ es 0,001. Si esperamos hasta que el proceso del mundo real haya generado el verdadero valor x ₁ 0.001101, podremos observar el valor truncado 0.0011, que es más preciso que nuestro valor predicho 0.001. Por tanto, hemos recibido una ganancia de información de un bit.

Relación con el mapa de la tienda y el mapa logístico

La transformación diádica es topológicamente semi-conjugada al mapa de tienda de altura de unidad . Recuerde que el mapa de la tienda de altura de la unidad viene dado por

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<1/2\\(1-x_{n})&\mathrm {for} ~~1/2\leq x_{n}\end{cases}}}$

La conjugación viene dada explícitamente por

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

de modo que

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

Es decir, esto es estable en iteración, ya que${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

También se conjuga con el caso caótico r  = 4 del mapa logístico . El caso r  = 4 del mapa logístico es ; esto está relacionado con el mapa de desplazamiento de bits en la variable x por${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

También hay una semi-conjugación entre la transformación diádica (aquí llamada mapa de duplicación de ángulos) y el polinomio cuadrático . Aquí, el mapa duplica los ángulos medidos por giros . Es decir, el mapa viene dado por

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

Periodicidad y no periodicidad

Debido a la naturaleza simple de la dinámica cuando las iteraciones se ven en notación binaria, es fácil categorizar la dinámica según la condición inicial:

Si la condición inicial es irracional (como lo son casi todos los puntos en el intervalo unitario), entonces la dinámica no es periódica; esto se deriva directamente de la definición de un número irracional como uno con una expansión binaria no repetitiva. Este es el caso caótico.

Si x ₀ es racional, la imagen de x ₀ contiene un número finito de valores distintos dentro de [0, 1) y la órbita directa de x ₀ es eventualmente periódica, con un período igual al período de la expansión binaria de x ₀ . Específicamente, si la condición inicial es un número racional con una expansión binaria finita de k bits, luego de k iteraciones, las iteraciones alcanzan el punto fijo 0; si la condición inicial es un número racional con un transitorio de k bits ( k  ≥ 0) seguido de una secuencia de q bits (q  > 1) que se repite infinitamente, luego, después de k iteraciones, las iteraciones alcanzan un ciclo de longitud  q . Por tanto, son posibles ciclos de todas las longitudes.

Por ejemplo, la órbita de avance del 24/11 es:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

que ha alcanzado un ciclo de período 2. Dentro de cualquier subintervalo de [0,1), no importa lo pequeño que sea, hay por lo tanto un número infinito de puntos cuyas órbitas son eventualmente periódicas, y un número infinito de puntos cuyas órbitas nunca son periódico. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales es una característica de los mapas caóticos .

Periodicidad a través de cambios de bits

Las órbitas periódicas y no periódicas se pueden entender más fácilmente no trabajando directamente con el mapa , sino con el mapa de desplazamiento de bits definido en el espacio de Cantor .${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )=b_{1},b_{2},\cdots }$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Es decir, el homomorfismo

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

es básicamente una declaración de que el conjunto de Cantor se puede mapear en los reales. Es una sobreyección: todo racional diádico no tiene una, sino dos representaciones distintas en el conjunto de Cantor. Por ejemplo,

${\displaystyle 0.1000000\cdots =0.011111\cdots }$

Esta es solo la versión de cadena binaria del famoso problema 0.999 ... = 1 . Las representaciones duplicadas son válidas en general: para cualquier secuencia inicial de longitud de longitud finita dada , uno tiene${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k-1}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k-1},1,0,0,0,\cdots =b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k-1},0,1,1,1,\cdots }$

La secuencia inicial corresponde a la parte no periódica de la órbita, después de la cual la iteración se establece en todos los ceros (equivalentemente, todos unos).${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k-1}}$

Expresadas como cadenas de bits, las órbitas periódicas del mapa pueden verse en los racionales. Es decir, después de una secuencia "caótica" inicial de , una órbita periódica se establece en una cadena repetitiva de longitud . No es difícil ver que tales secuencias repetidas corresponden a números racionales. Escritura${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\cdots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

uno entonces claramente tiene

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$

Siguiendo la secuencia inicial que no se repite, claramente se tiene un número racional. De hecho, cada número racional puede expresarse de esta manera: una secuencia "aleatoria" inicial, seguida de una repetición cíclica. Es decir, las órbitas periódicas del mapa están en correspondencia uno a uno con los racionales.

Este fenómeno es digno de mención, porque algo similar ocurre en muchos sistemas caóticos. Por ejemplo, las geodésicas en variedades compactas pueden tener órbitas periódicas que se comportan de esta manera.

Sin embargo, tenga en cuenta que los racionales son un conjunto de medidas cero en reales. ¡Casi todas las órbitas no son periódicas! Las órbitas aperiódicas corresponden a los números irracionales. Esta propiedad también es válida en un entorno más general. Una pregunta abierta es hasta qué punto el comportamiento de las órbitas periódicas restringe el comportamiento del sistema en su conjunto. Fenómenos como la difusión de Arnold sugieren que la respuesta general es "no mucho".

Formulación de densidad

En lugar de mirar las órbitas de puntos individuales bajo la acción del mapa, es igualmente valioso explorar cómo el mapa afecta las densidades en el intervalo unitario. Es decir, imagine esparcir un poco de polvo en el intervalo de la unidad; es más denso en algunos lugares que en otros. ¿Qué sucede con esta densidad cuando se itera?

Escriba como esta densidad, de modo que . Para obtener la acción de sobre esta densidad, es necesario encontrar todos los puntos y escribir ^[7]${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

El denominador en lo anterior es el determinante jacobiano de la transformación, aquí es solo la derivada de y así . Además, obviamente solo hay dos puntos en la preimagen de , estos son y , al juntarlo todo, se obtiene${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$${\displaystyle T^{-1}(x)}$${\displaystyle y=x/2}$${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

Por convención, tales mapas se indican de modo que, en este caso, escriba${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

El mapa es un operador lineal , como (obviamente) uno tiene y para todas las funciones en el intervalo unitario, y todas las constantes .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle a}$

Visto como un operador lineal, la pregunta más obvia y urgente es: ¿cuál es su espectro ? Un valor propio es obvio: dado que obviamente uno tiene, la densidad uniforme es invariante bajo la transformación. De hecho, este es el valor propio más grande del operador , es el valor propio de Frobenius-Perron . La densidad uniforme es, de hecho, nada más que la medida invariante de la transformación diádica.${\displaystyle \rho (x)=1,}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Para explorar el espectro de con mayor detalle, primero debe limitarse a un espacio adecuado de funciones (en el intervalo unitario) para trabajar. Este podría ser el espacio de las funciones mensurables de Lesbegue , o quizás el espacio de las funciones cuadradas integrables , o quizás incluso solo polinomios . Trabajar con cualquiera de estos espacios es sorprendentemente difícil, aunque se puede obtener un espectro. ^[7]${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Espacio Borel

Se produce una gran cantidad de simplificación si en cambio se trabaja con el espacio y las funciones de Cantor Se recomienda cierta precaución, ya que el mapa se define en el intervalo unitario de la recta numérica real , asumiendo la topología natural en los reales. Por el contrario, el mapa se define en el espacio de Cantor , al que, por convención, se le da una topología muy diferente, la topología del producto . Existe un posible choque de topologías; se debe tener cierto cuidado. Sin embargo, como se presentó anteriormente, hay un homorfismo del conjunto de Cantor en los reales; afortunadamente, mapea conjuntos abiertos en conjuntos abiertos y, por lo tanto, conserva las nociones de continuidad.${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )=b_{1},b_{2},\cdots }$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Para trabajar con el conjunto de Cantor , se debe proporcionar una topología; por convención, esta es la topología del producto . Al unir complementos de conjuntos, se puede extender a un espacio de Borel , es decir, un álgebra sigma . La topología es la de los juegos de cilindros . Un juego de cilindros tiene la forma genérica${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\cdots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\cdots ,*,b_{m},*,\cdots )}$

donde son valores de bit "no importa", y son un número finito de valores de bit explícitamente específicos dispersos en la cadena de bits infinita de indiferencia. Estos son los conjuntos abiertos de la topología. La medida de medida canónica en este espacio es la medida de Bernoulli para el lanzamiento de una moneda justa. Si solo hay un bit especificado en la cadena de posiciones de indiferencia, la medida es 1/2. Si se especifican dos bits, la medida es 1/4, y así sucesivamente. Uno puede volverse más elegante: dado un número real, uno puede definir una medida${\displaystyle *}$${\displaystyle b_{k},b_{m},\cdots }$${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\cdots ,*,b_{k},*,\cdots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

si hay cara y cruz en la secuencia. Se prefiere la medida con , ya que se conserva en el mapa${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots \mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

Entonces, por ejemplo, se asigna al intervalo y se asigna al intervalo y ambos intervalos tienen una medida de 1/2. De manera similar, se asigna al intervalo que todavía tiene la medida 1/2. Es decir, la incrustación anterior conserva la medida.${\displaystyle (0,*,\cdots )}$${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle (1,*,\cdots )}$${\displaystyle [1/2,1]}$${\displaystyle (*,0,*,\cdots )}$${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

Una alternativa es escribir

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots \mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]}$

que conserva la medida Es decir, se asigna de manera que la medida en el intervalo unitario sea nuevamente la medida de Lesbesgue.${\displaystyle \mu _{p}.}$

Operador Frobenius-Perron

Denote la colección de todos los conjuntos abiertos en el conjunto de Cantor y considere el conjunto de todas las funciones arbitrarias El desplazamiento induce un empuje hacia adelante${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

definido por Esto es nuevamente alguna función De esta manera, el mapa induce otro mapa en el espacio de todas las funciones Es decir, dado algunos , uno define${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)(x)=f(T^{-1}(x)).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

Este operador lineal se denomina operador de transferencia o operador de Ruelle-Frobenius-Perron . El valor propio más grande es el valor propio de Frobenius-Perron , y en este caso, es 1. El vector propio asociado es la medida invariante: en este caso, es la medida de Bernoulli . De nuevo, cuando${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho }$${\displaystyle \rho (x)=1.}$

Espectro

Para obtener el espectro de , se debe proporcionar un conjunto adecuado de funciones base para el espacio. Una de estas opciones es restringir al conjunto de todos los polinomios . En este caso, el operador tiene un espectro discreto y las funciones propias son (curiosamente) los polinomios de Bernoulli . ^[8] (Esta coincidencia de nombres probablemente no la conocía Bernoulli).${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De hecho, se puede verificar fácilmente que

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

donde son los polinomios de Bernoulli . Esto se sigue porque los polinomios de Bernoulli obedecen a la identidad${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

Otra base la proporciona la base Haar , y las funciones que abarcan el espacio son las ondas de Haar . En este caso, se encuentra un espectro continuo , que consiste en el disco unitario en el plano complejo . Dado en el disco unitario, de modo que las funciones${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

cumplir

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

para entero Esta es una base completa, ya que cada entero se puede escribir en la forma Los polinomios de Bernoulli se recuperan estableciendo y${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\cdots }$

También se puede dar una base completa de otras formas; pueden escribirse en términos de la función zeta de Hurwitz . La función Takagi proporciona otra base completa . Esta es una función fractal, no diferenciable en ninguna parte. Las funciones propias son explícitamente de la forma

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}$

donde donde esta la onda triangular . Uno tiene, de nuevo,${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}}$

Todas estas diferentes bases se pueden expresar como combinaciones lineales entre sí. En este sentido, son equivalentes.

Las funciones propias fractales muestran una simetría explícita bajo el grupoide fractal del grupo modular ; esto se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre la función Takagi (la curva de manjar blanco). Quizás no sea una sorpresa; el conjunto de Cantor tiene exactamente el mismo conjunto de simetrías (al igual que las fracciones continuas ). Esto luego conduce elegantemente a la teoría de ecuaciones elípticas y formas modulares .

Ver también

• Proceso de Bernoulli
• Esquema de Bernoulli
• Modelo de Gilbert-Shannon-Reeds , una distribución aleatoria en permutaciones dada al aplicar el mapa de duplicación a un conjunto de n puntos uniformemente aleatorios en el intervalo unitario

Notas

1. Mapas caóticos 1D , Evgeny Demidov
2. Wolf, A. "Quantifying Chaos with Lyapunov exponents", en Chaos , editado por AV Holden, Princeton University Press, 1986.
3. Sistemas dinámicos y teoría ergódica: el mapa de duplicación Archivado el12 de febrero de 2013en la Wayback Machine , Corinna Ulcigrai, Universidad de Bristol
4. A. Rényi, "Representaciones de números reales y sus propiedades ergódicas", Acta Math Acad Sci Hungría, 8, 1957, págs. 477–493.
5. AO Gel'fond, "Una propiedad común de los sistemas numéricos", Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat, 23, 1959, págs. 809–814.
6. W. Parry, "Sobre la expansión β de los números reales", Acta Math Acad Sci Hungría, 11, 1960, págs. 401–416.
7. Dean J. Driebe, Mapas completamente caóticos y simetría del tiempo roto, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Países Bajos ISBN  0-7923-5564-4
8. Pierre Gaspard, "mapas unidimensionales r -adic y la fórmula de suma de Euler", Journal of Physics A , 25 (carta) L483-L485 (1992).

Referencias

• Dean J. Driebe, Mapas completamente caóticos y simetría del tiempo roto , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4 
• Linas Vepstas, El mapa de Bernoulli, el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing y el Riemann Zeta , (2004)