En matemáticas (específicamente en la teoría de la medida ), una medida de Radon , llamada así por Johann Radon , es una medida en el álgebra σ de los conjuntos de Borel de un espacio topológico X de Hausdorff que es finito en todos los conjuntos compactos , regular exterior en todos los conjuntos de Borel, y regular interior en conjuntos abiertos . [1] Estas condiciones garantizan que la medida es "compatible" con la topología del espacio y la mayoría de las medidas utilizadas en el análisis matemático y en la teoría de númerosson de hecho medidas de radón.
Un problema común es encontrar una buena noción de una medida en un espacio topológico que sea compatible con la topología en algún sentido. Una forma de hacer esto es definir una medida en los conjuntos de Borel del espacio topológico. En general hay varios problemas con esto: por ejemplo, tal medida puede no tener un soporte bien definido . Otro enfoque de la teoría de la medida es restringirse a espacios de Hausdorff localmente compactos y considerar solo las medidas que corresponden a funcionales lineales positivos en el espacio de funciones continuas.con soporte compacto (algunos autores utilizan esto como la definición de una medida de Radón). Esto produce una buena teoría sin problemas patológicos, pero no se aplica a espacios que no son localmente compactos. Si no hay restricción a medidas no negativas y se permiten medidas complejas, entonces las medidas de Radon se pueden definir como el espacio dual continuo en el espacio de funciones continuas con soporte compacto. Si tal medida de radón es real, entonces se puede descomponer en la diferencia de dos medidas positivas. Además, una medida arbitraria de Radon se puede descomponer en cuatro medidas positivas de Radon, donde las partes real e imaginaria del funcional son las diferencias de dos medidas positivas de Radon.
La teoría de las medidas de Radon tiene la mayoría de las buenas propiedades de la teoría habitual para espacios localmente compactos, pero se aplica a todos los espacios topológicos de Hausdorff. La idea de la definición de una medida de Radon es encontrar algunas propiedades que caractericen las medidas en espacios localmente compactos correspondientes a funcionales positivos, y usar estas propiedades como la definición de una medida de Radon en un espacio de Hausdorff arbitrario.
La medida m se llama interior regular o ajustada si, para cualquier conjunto abierto U , m ( U ) es el supremo de m ( K ) sobre todos los subconjuntos compactos K de U .
La medida m se llama regular exterior si, para cualquier conjunto de Borel B , m ( B ) es el mínimo de m ( U ) sobre todos los conjuntos abiertos U que contienen a B .
La medida m se llama localmente finita si todo punto de X tiene una vecindad U para la cual m ( U ) es finita.