Medida regular interior

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En matemáticas , una medida regular interna es aquella para la que la medida de un conjunto se puede aproximar desde dentro mediante subconjuntos compactos .

Definición

Sea ( X , T ) un espacio topológico de Hausdorff y sea Σ un σ-álgebra en X que contiene la topología T (de modo que todo conjunto abierto es un conjunto medible , y Σ es al menos tan fino como el σ-álgebra de Borel en X ). Entonces, una medida μ en el espacio medible ( X , Σ) se llama regular interior si, para cada conjunto A en Σ,

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid {\text{compact }}K\subseteq A\}.}$

Esta propiedad a veces se denomina en palabras "aproximación desde dentro por conjuntos compactos".

Algunos autores ^{[1] [2]} usan el término apretado como sinónimo de regular interno. Este uso del término está estrechamente relacionado con la rigidez de una familia de medidas , ya que una medida finita μ es interna regular si y solo si , para todo ε > 0, hay algún subconjunto compacto K de X tal que μ ( X \ K ) <  ε . Ésta es precisamente la condición de que la colección de medidas singleton { μ } sea ajustada.

Ejemplos de

Cuando a la línea real R se le da su topología euclidiana habitual,

• La medida de Lebesgue en R es regular interna; y
• La medida gaussiana (la distribución normal en R ) es una medida de probabilidad regular interna .

Sin embargo, si se cambia la topología en R , estas medidas pueden dejar de ser internas regulares. Por ejemplo, si a R se le da la topología de límite inferior (que genera la misma σ-álgebra que la topología euclidiana), entonces ambas medidas anteriores no pueden ser regulares internas, porque los conjuntos compactos en esa topología son necesariamente contables y, por lo tanto, de medir cero.

Referencias

1. Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . Basilea: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.
2. Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. Señor 2169627

Ver también

• Medida de radón
• Medida regular