Medida localmente finita

En matemáticas , una medida localmente finita es una medida para la cual cada punto del espacio de medida tiene una vecindad de medida finita . ^{[1] [2] [3]}

Definición

Sea ( X , T ) un espacio topológico de Hausdorff y sea Σ un σ-álgebra en X que contiene la topología T (de modo que todo conjunto abierto es un conjunto medible , y Σ es al menos tan fino como el σ-álgebra de Borel en X ). Una medida / medida firmada / medida compleja μ definida en Σ se llama localmente finito si, para cada punto P del espacio X , hay una abierta vecindad N _p de ptal que la medida μ de N _p es finita.

En notación más condensada, μ es localmente finito si y solo si

${\displaystyle \forall p\in X,\exists N_{p}\in T{\mbox{ s.t. }}p\in N_{p}{\mbox{ and }}\left|\mu (N_{p})\right|<+\infty .}$

Ejemplos

1. Cualquier medida de probabilidad en X es localmente finita, ya que asigna unidad de medida a todo el espacio. De manera similar, cualquier medida que asigne una medida finita a todo el espacio es localmente finita.
2. La medida de Lebesgue en el espacio euclidiano es localmente finita.
3. Por definición, cualquier medida de radón es localmente finita.
4. La medida de recuento es a veces localmente finita y otras no: la medida de recuento de los enteros con su topología discreta habitual es localmente finita, pero la medida de recuento de la línea real con su topología de Borel habitual no lo es.

Ver también

• Medida regular interior
• Medida estrictamente positiva

Referencias

1. Berge, Claude (1963). Espacios topológicos . pag. 31. ISBN 0486696537.
2. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur (1978). Contraejemplos en topología . pag. 22.
3. Gemignani, Michael C. (1972). Topología elemental . pag. 228. ISBN 0486665224.