En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un núcleo es cualquiera de ciertos subgrupos normales especiales de un grupo . Los dos tipos más comunes son el núcleo normal de un subgrupo y el núcleo p de un grupo.
Para un grupo G , el núcleo normal o el interior normal [1] de un subgrupo H es el subgrupo normal más grande de G que está contenido en H (o de manera equivalente, la intersección de los conjugados de H ). Más generalmente, el núcleo de H con respecto a un subconjunto S ⊆ G es la intersección de los conjugados de H bajo S , es decir
Bajo esta definición más general, el núcleo normal es el núcleo con respecto a S = G. El núcleo normal de cualquier subgrupo normal es el subgrupo mismo.
Los núcleos normales son importantes en el contexto de acciones grupales en conjuntos , donde el núcleo normal del subgrupo de isotropía de cualquier punto actúa como la identidad en toda su órbita . Así, en caso de que la acción sea transitiva , el núcleo normal de cualquier subgrupo de isotropía es precisamente el núcleo de la acción.
Un subgrupo sin núcleo es un subgrupo cuyo núcleo normal es el subgrupo trivial . De manera equivalente, es un subgrupo que ocurre como el subgrupo de isotropía de una acción de grupo transitiva y fiel .
La solución para el problema del subgrupo oculto en el caso abeliano se generaliza para encontrar el núcleo normal en el caso de subgrupos de grupos arbitrarios.