La condición de compacidad de Palais-Smale , llamada así por Richard Palais y Stephen Smale , es una hipótesis para algunos teoremas del cálculo de variaciones . Es útil para garantizar la existencia de ciertos tipos de puntos críticos , en particular los puntos silla . La condición Palais-Smale es una condición funcional que uno está tratando de extremizar.
En espacios de dimensión finita, la condición de Palais-Smale para una función de valor real continuamente diferenciable se satisface automáticamente para mapas adecuados : funciones que no toman conjuntos ilimitados en conjuntos limitados. En el cálculo de variaciones, donde uno está típicamente interesado en espacios funcionales de dimensión infinita , la condición es necesaria porque se necesita alguna noción adicional de compacidad más allá de la simple acotación. Véase, por ejemplo, la demostración del teorema del paso de montaña en la sección 8.5 de Evans.
Formulación fuerte
A continuamente Fréchet diferenciable funcional de un espacio de Hilbert H a los reales satisface la condición de Palais-Smale si cada secuencia tal que:
- está acotado, y
- en H
tiene una subsecuencia convergente en H .
Formulación débil
Sea X un espacio de Banach yser un funcional diferenciable de Gateaux . El funcionalse dice que satisface la condición Palais-Smale débil si para cada secuencia tal que
- ,
- en ,
- para todos ,
existe un punto crítico de con
Referencias
- Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-0772-2.
- Mawhin, Jean ; Willem, Michel (2010). "Origen y evolución de la condición Palais-Smale en la teoría del punto crítico". Revista de teoría y aplicaciones del punto fijo . 7 (2): 265–290. doi : 10.1007 / s11784-010-0019-7 .